Jawab:

Bilangan 6 angka tersebut adalah 842248.

Pembahasan

Teori Bilangan

Sebuah bilangan 6 angka mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.

• A. Bilangan ini bila dibaca dari depan dan dari belakang hasilnya sama
• B. Bilangan ini merupakan kelipatan 8.
• C. Bila angka pertama dan angka terakhir dihapus maka bilangan empat angka sisanya akan memiliki satu faktor prima.​

Dari pernyataan A, anggaplah bilangan ini X, dengan rangkaian [xyzzyx], sehingga:

X = 100000x + 10000y + 1000z + 100z + 10y + x

⇔ X = (100000 + 1)x + (10000 + 10)y + (1000 + 100z)

⇔ X = 100001x + 10010y + 1100z

Pada suku 100001x, faktornya adalah 100001 dan x. Ujung dan pangkal dari 100001 adalah 1. Agar 100001x merupakan kelipatan 8, maka x harus bernilai 8.

Jadi, x = 8.

Pada suku 10010y dan 1100z, kita bisa memanfaatkan sisa pembagian bilangan bulat terhadap 8, yang disebut juga sebagai fungsi modulo. Misalnya: 9 mod 8 = 1, karena 9 dibagi 8 bersisa 1.

• Untuk suku 10010y:
  10010 mod 8
  = (10000 mod 8) + (10 mod 8)
  = 0 + 2
  = 2
  Agar 10010y merupakan kelipatan 8:
  2y = 8, 1 < y < 8
  ⇔ y = 4
  (Syarat 1 < y < 8 karena y harus merupakan angka 1 digit, merupakan faktor dari 8, dan memiliki 1 faktor prima. 1 bukan bilangan prima maupun faktor prima.)

• Untuk suku 1100z:
  1100 mod 8
  = (1000 mod 8) + (100 mod 8)
  = 0 + ((96 + 4) mod 8)
  = (96 mod 8) + (4 mod 8)
  = 0 + 4
  = 4
  Agar 1100z merupakan kelipatan 8:
  4z = 8, 1 < z < 8
  ⇔ z = 2
  (Sama seperti untuk y di atas. Syarat 1 < z < 8 karena z harus merupakan angka 1 digit, merupakan faktor dari 8, dan memiliki 1 faktor prima. 1 bukan bilangan prima maupun faktor prima.)

Kita telah mendapatkan x = 8, y = 4, dan z = 2, sehingga:

X = 842248

Pemeriksaan

• Pernyataan A
  842248 dibaca dari depan maupun belakang sama saja, yaitu 842248. Rangkaian angka, atau karakter seperti ini disebut sebagai “palindrom”.
• Pernyataan B
  X : 8 = 842248 : 8 = 105281 bersisa 0.
  Artinya, 842248 merupakan kelipatan 8.
• Pernyataan C
  Jika angka pertama dan terakhir dihapus, akan menghasilkan 4224.
  Empat angka tersebut merupakan bentukan dari 2 angka saja, yaitu 4 dan 2.
  4 dan 2 hanya memiliki 1 faktor prima, yaitu 2.

KESIMPULAN

∴  Bilangan 6 angka tersebut adalah 842248.