Panjang maksimal sisi persegiagar titik sudutnya tepat menyentuh busur lingkaran dengan panjang jari-jari r adalahr√2.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Persegi terbesar yang dapat dimuat dalam sebuah lingkaran adalah persegi dengan keempat titik sudutnya terletak pada busur lingkaran. Oleh karena itu, panjang diagonal persegi sama dengan diameter lingkaran, yaitu 2r.

Pada persegi, perbandingan antara panjang sisi dengan panjang diagonalnya adalah 1 : √2, atau ekuivalen dengan ½√2 : 1, yang menyebabkan:

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut.

Anggap lingkaran tersebut memenuhi persamaan lingkaran x² + y²  = r², yang berpusat di (0, 0). Maka, persegi terbesar yang dapat dimuat dalam lingkaran tersebut terbentuk dari empat tali busur yang sama panjangnya, dan setiap pasang tali busur yang berpotongan membentuk sudut 90°.
Misalkan panjang sisi persegi = s. Keempat titik sudut persegi akan memiliki koordinat (–½s, –½s), (½s, –½s), (½s, ½s), dan (–½s, ½s), yang semuanya memenuhi:
¼s² + ¼s² = r²
⇒ ½s² = r²
⇒ s² = 2r²
⇒ s = r√2

Kita juga dapat menggunakan sifat sudut keliling dan sudut pusat lingkaran.
Karena setiap sudut persegi adalah 90°, dan setiap sisi persegi adalah tali busur lingkaran dengan panjang yang sama, maka sudut pusat yang terbentuk adalah 2·90° = 180°, sehingga melalui pusat lingkaran, setiap pasangan titik sudut yang berhadapan dihubungkan oleh sebuah garis lurus, yang tidak lain adalah diameter lingkaran, dengan panjang 2r.
Maka, dengan teorema Pythagoras:
d² = 2s²
⇒ 4r² = 2s²
⇒ 2r² = s²
⇒ s = √(2r²)
⇒ s = r√2

Dan masih ada beberapa cara lainnya untuk membuktikan bahwa panjang maksimal sisi persegi agar titik sudutnya tepat menyentuh busur lingkaran dengan panjang jari-jari r adalah r√2.