nomor 3 ,5 tolong ya, salah satu aja gpp, dua

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Nomor 3 ,5 tolong ya,
salah satu aja gpp, dua soal lebih baik
nomor 3 ,5 tolong ya, salah satu aja gpp, dua soal lebih baik

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

3. Pasangan nilai (A, B) yang mungkin adalah (9, 7).
5. Sisa terbesar yang Nala tuliskan adalah 671.
 

Pembahasan

Teori Bilangan: Keterbagian dan Sisa Pembagian Bilangan Bulat

Nomor 3

Diketahui

$B\mid\overline{A12345}\ \land \ B\mid\overline{12345A}$
$A,B\not\in\{1,2,3,4,5\}\,,\ A\ne B$
$A,B\in\mathbb{N}$

Ditanyakan

Semua pasangan nilai $(A,B)$ yang mungkin

PENYELESAIAN

Karena $A,B\not\in\{1,2,3,4,5\}$ , maka $A,B > 5$ .
Oleh karena itu, diperoleh hubungan: $\overline{A12345} > \overline{12345A}$ .

Karena $B\mid\overline{A12345}$ , dan $\overline{A12345}$ adalah kelipatan $5$ , maka $B$ harus merupakan bilangan ganjil.
Oleh karena itu, kemungkinan nilai $B$ adalah 7 atau 9.

Pertama, ambil $B=\bf9$ .

Suatu bilangan bulat positif habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya merupakan kelipatan 9 atau habis dibagi 9.
Jadi, jika $B = 9$ , maka jumlah angka-angka pada masing-masing $\overline{A12345}$ dan $\overline{12345A}$ harus habis dibagi 9.

$\begin{aligned}&\overline{A12345}\\&\Rightarrow9\mid A+1+2+3+4+5\\&\Rightarrow9\mid A+15\\&\Rightarrow A=3,12,21,\dots\end{aligned}$

$A$ harus merupakan bilangan satuan, sehingga $A=3$ , dan ini tidak memenuhi, berdasarkan syarat bahwa $A,B\not\in\{1,2,3,4,5\}$ .

Kedua, ambil $B = \bf7$ .

Suatu bilangan bulat positif habis dibagi 7 jika selisih dari 2 × angka satuannya dengan bagian selain angka satuan pada bilangan tersebut merupakan kelipatan 7 atau habis dibagi 7.

Sebagai contoh:

798 habis dibagi 7, karena 798 = 7 × 114.
2 × angka satuannya = 2 × 8 = 16.
79 – 16 = 63 ⇒ habis dibagi 7.
861 habis dibagi 7, karena 861 = 7 × 123.
2 × angka satuannya = 2 × 1 = 2.
86 – 2 = 84 ⇒ habis dibagi 7.

Jadi, jika $B = 7$ , maka:

$\begin{aligned}&\overline{A1234\bf5}\\\Rightarrow\ &7\mid \overline{A1234}-10\\\Rightarrow\ &7\mid \overline{A1224}\\&\overline{A122\bf4}\\\Rightarrow\ &7\mid \overline{A122}-8\\\Rightarrow\ &7\mid \overline{A114}\\&\overline{A11\bf4}\\\Rightarrow\ &7\mid \overline{A11}-8\\\Rightarrow\ &7\mid \overline{A03}\\&\overline{A0\bf3}\\\Rightarrow\ &7\mid \overline{A0}-6\\\Rightarrow\ &7\mid A\times10-6\\\Rightarrow\ &7\mid ((A-1)\times10)+4\\\Rightarrow\ &A=2,9,16,\dots\end{aligned}$

$\begin{aligned}\therefore\ \ &A={\bf9}\quad\because\ 5 < A \le9\end{aligned}$

Pemeriksaan

Dengan $A=9$ dan $B=7$ :

$\begin{aligned}\overline{A12345}&=\bf912345\\&=3\times304115\\&=3\times5\times60823\\&=3\times5\times\boxed{7}\times8689\\\therefore\ \bf7\ &\mid\ \bf912345\end{aligned}$

$\begin{aligned}\overline{12345A}&=\bf123459\\&=3\times41153\\&=3\times\boxed{7}\times5879\\\therefore\ \bf7\ &\mid\ \bf123459\end{aligned}$

KESIMPULAN

∴ Pasangan nilai (A, B) yang mungkin adalah (9, 7).
$\blacksquare$

______________________

Nomor 5

Diketahui

Bilangan 2015 dibagi bilangan-bilangan 1, 2, 3, ..., 1000.

Ditanyakan

Sisa terbesar yang diperoleh

PENYELESAIAN

Algoritma pembagian berkali-kali (algoritma Euclidean) menyatakan bahwa jika $a$ dan $b$ bilangan bulat dengan $b > 0$ , maka ada pasangan tunggal $q$ dan $r$ yang memenuhi $a=qb + r$ , dengan $0 \le r < b$ . Bilangan $r$ adalah sisa pembagian $a$ oleh $b$ , sedangkan $q$ adalah hasil baginya. Hal ini serupa dengan teorema sisa, namun dilakukan berulang-ulang hingga mendapatkan nilai $r=0$ .

Pada persoalan ini, $a = \bf2015$ . Maka:

$\begin{aligned}&2015=qb+r\\&\Rightarrow r=2015-qb\end{aligned}$

dengan $1 \le b \le 1000$ , $b \in \mathbb{Z}$ .

Untuk memaksimumkan nilai $r$ (sisa pembagian), kita minimumkan nilai $q$ dan $b$ . Nilai $b=1$ akan menghasilkan $r = 0$ , karena semua bilangan bulat habis dibagi 1. Oleh karena itu, nilai $b$ minimum yang menghasilkan sisa adalah $2$ .

$\begin{aligned}&q=\left\lfloor\frac{2015}{2}\right\rfloor=\bf1007\: > \:1000\end{aligned}$

Hasil baginya masih di luar rentang nilai pembagi yang didefinisikan. Jika rentang nilai pembagi mencapai angka 1008, maka sisa terbesar dari pembagian ini adalah 1007.

Oleh karena itu, pilih nilai $b$ minimum kedua, yaitu $3$ . 2015 tidak habis dibagi 3 sehingga ada sisa pembagiannya.

$\begin{aligned}&q=\left\lfloor\frac{2015}{3}\right\rfloor=\bf671\: < \:1000\end{aligned}$

Dengan demikian, rentang nilai pembagi adalah $671 < q < 1000$ . Nilai $q$ minimum adalah 672. Sisa pembagian 2015 oleh 672 adalah:
$2015\!\!\mod672=\bf671$ karena $2015=672\times2+671$ .