13. Persamaan kuadrat x2-x+2==0 memiliki akar p dan q nilai

Berikut ini adalah pertanyaan dari yehezkielsianturi63 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

13. Persamaan kuadrat x2-x+2==0 memiliki akar p dan q nilai P2+q2 adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Persamaan kuadrat x² – x + 2 = 0memiliki akarpdanq.
Nilai p² + q²adalah–3.
 

Pembahasan

Persamaan Kuadrat

Jika persamaan kuadrat ax² + bx + cmemiliki akar-akarpdanq, maka berlaku:

Jumlah akar-akarnya:
p + q = –b/a
Hasil kali akar-akarnya:
pq = c/a

Persamaan kuadrat x² – x + 2 = 0memiliki akarpdanq.

Maka, nilai p² + q² dapat dicari dengan:
p² + q² = (p + q)² – 2pq
⇒ p² + q² = (–b/a)² – 2(c/a)
⇒ p² + q² = b²/a² – 2(c/a)
(a = 1, b = –1, c = 2)
⇒ p² + q² = (–1)²/(1²) – 2(2/1)
⇒ p² + q² = 1 – 4
⇒ p² + q² = –3

Jika masih belum yakin, kita cari saja akar-akarnya.

$\begin{aligned}&x^2-x+2=0\\&{\Rightarrow\ }x^2-x=-2\\&{\Rightarrow\ }x^2-x+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}\\&{\Rightarrow\ }\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=-\frac{7}{4}\\&{\Rightarrow\ }x-\frac{1}{2}=\pm\sqrt{-\frac{7}{4}}=\pm\left(\sqrt{-1}\right)\sqrt{\frac{7}{4}}\\&{\Rightarrow\ }x=\frac{1}{2}\pm\left(\sqrt{-1}\right)\sqrt{\frac{7}{4}}\\&{\Rightarrow\ }x=\frac{1}{2}\pm i\sqrt{\frac{7}{4}}\,{\sf\ dengan\ }i=\sqrt{-1}\end{aligned}$

Kita memperoleh 2 buah akar bilangan kompleks (terdapat bagian real dan imajiner) yang saling sekawan (konjugat), dalam bentuk p = (a + b) dan q = (a – b), atau sebaliknya.

Maka:

p² + q² = (a + b)² + (a – b)²
⇒ p² + q² = a² + b² + 2ab + a² + b² – 2ab
⇒ p² + q² = 2(a² + b²)

$\begin{aligned}\bullet&&a^2&=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\\\bullet&&b^2&=\left(\pm i\sqrt{\frac{7}{4}}\right)^2\\&&&=i^2\cdot\frac{7}{4}\\&&&=\left(\sqrt{-1}\right)^2\cdot\frac{7}{4}\\&&&=(-1)\cdot\frac{7}{4}\\&&&=-\frac{7}{4}\end{aligned}$