QuizTentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 8x

Berikut ini adalah pertanyaan dari Arln45 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

QuizTentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 8x + 4y + 10 = 0 dititik (3,1)

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Persamaan garis singgung tersebut adalah x = 3y, atau ekuivalen dengan y = x/3.
 

Pembahasan

Diketahui
Persamaan lingkaran $L : x^2 + y^2 - 8x + 4y + 10 = 0$

Ditanyakan
Persamaan garis singgung lingkaran $L$ di titik $(3, 1)$

PENYELESAIAN

Terlebih dahulu kita tentukan bentuk normal dari persamaan lingkaran $L$ , agar mendapatkan titik pusat lingkaran dan radiusnya.

$\begin{aligned}&L:x^2 + y^2 - 8x + 4y + 10 = 0\\&\Rightarrow x^2-8x+y^2+4y=-10\\&\Rightarrow x^2-8x+\underline{16}+y^2+4y+\underline{4}=-10+\underline{16}+\underline{4}\\&\Rightarrow (x-4)^2+(y+2)^2=10\\&\therefore\ \textsf{Titik pusat}:P(\bf4,-2)\\&\therefore\ r^2={\bf10}\implies r=\bf\sqrt{10}\\\end{aligned}$

Persamaan garis singgung lingkaran $L$ di titik $(3,1)$ dapat ditentukan dengan setidaknya dua cara.

..................................

Cara Pertama

Persamaan garis singgung lingkaran $L$ dengan pusat $P(a,b)$ di titik $(x_1,y_1)$ adalah:
$\begin{aligned}\boxed{\:(x_1-a)(x-a)+(y_1-a)(y-a)=r^2\:}\end{aligned}$

Dengan $a=4$ , $b=-2$ , $x_1=3$ , $y_1=1$ , dan $r^2=10$ diperoleh:
$\begin{aligned}&(3-4)(x-4)+(1-(-2))(y-(-2))=10\\&\Rightarrow -(x-4)+3(y+2)=10\\&\Rightarrow -x+4+3y+6=10\\&\Rightarrow -x+3y+10=10\\&\Rightarrow -x+3y=0\\&\therefore\ \boxed{\:\bf x=3y\:}\ \equiv\ \boxed{\:\bf y=\frac{x}{3}\:}\end{aligned}$

..................................

Cara Kedua

Kita bisa juga menggunakan derivatif atau turunan pertama untuk mencari gradien persamaan garis singgung, lalu menggunakan rumus persamaan garis lurus.

Untuk lingkaran $L:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , turunan pertama terhadap $x$ dapat dinyatakan dan diselesaikan dengan persamaan diferensial berikut.
$\begin{aligned}&2(x-a)+2(y-b)\frac{dy}{dx}=0\\&\Rightarrow (x-a)+(y-b)\frac{dy}{dx}=0\\&\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{-(x-a)}{y-b}\\&\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{a-x}{y-b}\\\end{aligned}$

Kita tahu bahwa persamaan garis lurus dengan gradien $m$ yang melalui titik $(x_1, y_1)$ dinyatakan oleh:
$y-y_1=m(x-x_1)$

Gradiennya adalah turunan pertama di atas. Maka:

$\begin{aligned}m&=\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_1,y=y_1}\\&=\frac{a-x}{y-b}\bigg|_{x=x_1,y=y_1}\\\therefore\ m&=\frac{a-x_1}{y_1-b}\end{aligned}$

Sehingga, persamaan garis singgung lingkaran $L:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ juga dapat dinyatakan oleh:
$\begin{aligned}\boxed{\:y-y_1=\frac{a-x_1}{y_1-b}\cdot(x-x_1)\:}\end{aligned}$

Dengan $a=4$ , $b=-2$ , $x_1=3$ , dan $y_1=1$ diperoleh:

$\begin{aligned}&&\!\!\!y-1&=\frac{4-3}{1-(-2)}\cdot(x-3)\\&&&=\frac{1}{3}\cdot(x-3)\\&\Rightarrow&\!\!\!y-1&=\frac{x}{3}-1\\&\Rightarrow&y&=\frac{x}{3}-1+1\\&\therefore&&\boxed{\:\bf y=\frac{x}{3}\:}\ \equiv\ \boxed{\:\bf x=3y\:}\end{aligned}$
$\blacksquare$
 