Agar grafik f(x) = x² – 2px + 2p + 3selalu beradadi atas sumbu x, batas atau selang nilai p yang memenuhi adalah –1 < p < 3.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Grafik fungsi kuadrat selalu berada di atas sumbu x artinya nilai f(x) atau y selalu positif, sehingga kondisi ini sering disebut sebagai definit positif.

• Agar kondisi definit positif terpenuhi, grafik f(x) harus membuka ke atas.
  ⇒ Syarat: Koefisien x² positif, atau a > 0, sudah dipenuhi f(x).
• Agar kondisi definit positif terpenuhi, grafik f(x) tidak memotong sumbu x. Artinya, solusi atau akar-akarnya imajiner.
  ⇒ Syarat: Diskriminan negatif, atau D < 0, ini yang perlu diperiksa.

Kita sesuaikan dengan pertanyaan pada gambar.

f(x) = x² – 2px + 2p + 3
⇒ a = 1, b = –2p, c = 2p + 3

D < 0
⇒ b² – 4ac < 0
⇒ (–2p)² – 4·1·(2p + 3) < 0
⇒ 4p² – 8p – 12 < 0
⇒ 4(p² – 2p – 3) < 0
⇒ p² – 2p – 3 < 0
⇒ (p + 1)(p – 3) < 0
⇒ Titik kritis: p = –1, p = 3

Pemeriksaan selang/interval nilai p

• Selang p < –1:
  (p + 1)(p – 3) = (–)(–) = (+)
  ⇒ (p + 1)(p – 3) > 0
  ⇒ Tidak memenuhi.
• Selang –1 < p < 3:
  (p + 1)(p – 3) = (+)(–) = (–)
  ⇒ (p + 1)(p – 3) < 0
  ⇒ Memenuhi.
• Selang p > 3:
  (p + 1)(p – 3) = (+)(+) = (+)
  ⇒ (p + 1)(p – 3) > 0
  ⇒ Tidak memenuhi.

Jadi, selang nilai p yang memenuhi adalah –1 < p < 3.

KESIMPULAN
∴ Dengan demikian, agar grafik f(x) = x² – 2px + 2p + 3 selalu berada di atas sumbu x, batas atau selang nilai p yang memenuhi adalah:
–1 < p < 3.