1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

(+25)Buktikan identitas trigonometri berikut:sin(a + b) = sin(a) cos(b) +

Berikut ini adalah pertanyaan dari Hayst pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

(+25)

Buktikan identitas trigonometri berikut:
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pembuktian Identitas Trigonometri:

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)​

Untuk pembuktian, digunakan gambar ilustrasi (terlampir) dengan keterangan di bawah ini.

Pada gambar, terdapat segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. Garis AE membagi ∠CAB menjadi 2 bagian (dengan proporsi sembarang), sehingga besar ∠CAB adalah (a + b). Garis AE berpotongan dengan sisi BC pada titik D.

Dari titik C, ditarik garis yang ⊥ dengan AE, dan memotong AE di titik F, sehingga CF ⊥ AE, dan ∠DCF ≅ ∠DAB (besarnya = a).

Dari titik F, ditarik garis ke sisi CB sedemikian rupa sehingga garis ini ⊥ CB. Titik perpotongannya adalah G.

Dari titik B, ditarik garis mendatar ke titik H, dan dari titik H ditarik garis tegak ke titik F, sehingga terbentuk persegi panjang BGFH. Sehingga, ∠DFG ≅ ∠DAB, yang berarti pula ∠DFG ≅ ∠DCF.

Langkah-langkah Pembuktian

\large\text{$\begin{aligned}&{\sin(a+b)=\frac{CB}{AC}}\\\\&{\quad}.....\ CB=CG+GB\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\frac{CG+GB}{AC}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\frac{CG}{AC}+\frac{GB}{AC}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\frac{CG}{AC}\times\frac{CF}{CF}+\frac{GB}{AC}\times\frac{AF}{AF}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\frac{CG}{CF}\times\frac{CF}{AC}+\frac{GB}{AF}\times\frac{AF}{AC}\\\\&{\quad}.....\ \textsf{BGFH adalah persegi panjang, sehingga}\\&{\quad}.....\ \textsf{$GB=FH$. Substitusi $GB\rightarrow FH$.}\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&{\implies}\sin(a+b)=\frac{CG}{CF}\times\frac{CF}{AC}+\frac{FH}{AF}\times\frac{AF}{AC}\\\\&{\quad}.....\ \textsf{Dari $\triangle\bold{CGF}:\ \frac{CG}{CF}=\cos(a)$, sehingga}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\cos(a)\times\frac{CF}{AC}+\frac{FH}{AF}\times\frac{AF}{AC}\\\\&{\quad}.....\ \textsf{Dari $\triangle\bold{ACF}:\ \frac{CF}{AC}=\sin(b)$, sehingga}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\cos(a)\times\sin(b)+\frac{FH}{AF}\times\frac{AF}{AC}\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&{\quad}.....\ \textsf{Dari $\triangle\bold{AFH}:\ \frac{FH}{AF}=\sin(a)$, sehingga}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\cos(a)\times\sin(b)+\sin(a)\times\frac{AF}{AC}\\\\&{\quad}.....\ \textsf{Dari $\triangle\bold{ACF}:\ \frac{AF}{AC}=\cos(b)$, sehingga}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\cos(a)\times\sin(b)+\sin(a)\times\cos(b)\\\\&{\implies}\bf\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\\&{\qquad}\ \textsf{\underline{terbukti}.}\end{aligned}$}

Jawab dan Penjelasan dengan langkah-langkah:Pembuktian Identitas Trigonometri:sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)​Untuk pembuktian, digunakan gambar ilustrasi (terlampir) dengan keterangan di bawah ini.Pada gambar, terdapat segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B. Garis AE membagi ∠CAB menjadi 2 bagian (dengan proporsi sembarang), sehingga besar ∠CAB adalah (a + b). Garis AE berpotongan dengan sisi BC pada titik D.Dari titik C, ditarik garis yang ⊥ dengan AE, dan memotong AE di titik F, sehingga CF ⊥ AE, dan ∠DCF ≅ ∠DAB (besarnya = a). Dari titik F, ditarik garis ke sisi CB sedemikian rupa sehingga garis ini ⊥ CB. Titik perpotongannya adalah G.Dari titik B, ditarik garis mendatar ke titik H, dan dari titik H ditarik garis tegak ke titik F, sehingga terbentuk persegi panjang BGFH. Sehingga, ∠DFG ≅ ∠DAB, yang berarti pula ∠DFG ≅ ∠DCF.Langkah-langkah Pembuktian[tex]\large\text{$\begin{aligned}&{\sin(a+b)=\frac{CB}{AC}}\\\\&{\quad}.....\ CB=CG+GB\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\frac{CG+GB}{AC}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\frac{CG}{AC}+\frac{GB}{AC}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\frac{CG}{AC}\times\frac{CF}{CF}+\frac{GB}{AC}\times\frac{AF}{AF}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\frac{CG}{CF}\times\frac{CF}{AC}+\frac{GB}{AF}\times\frac{AF}{AC}\\\\&{\quad}.....\ \textsf{BGFH adalah persegi panjang, sehingga}\\&{\quad}.....\ \textsf{$GB=FH$. Substitusi $GB\rightarrow FH$.}\end{aligned}$}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}&{\implies}\sin(a+b)=\frac{CG}{CF}\times\frac{CF}{AC}+\frac{FH}{AF}\times\frac{AF}{AC}\\\\&{\quad}.....\ \textsf{Dari $\triangle\bold{CGF}:\ \frac{CG}{CF}=\cos(a)$, sehingga}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\cos(a)\times\frac{CF}{AC}+\frac{FH}{AF}\times\frac{AF}{AC}\\\\&{\quad}.....\ \textsf{Dari $\triangle\bold{ACF}:\ \frac{CF}{AC}=\sin(b)$, sehingga}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\cos(a)\times\sin(b)+\frac{FH}{AF}\times\frac{AF}{AC}\end{aligned}$}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}&{\quad}.....\ \textsf{Dari $\triangle\bold{AFH}:\ \frac{FH}{AF}=\sin(a)$, sehingga}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\cos(a)\times\sin(b)+\sin(a)\times\frac{AF}{AC}\\\\&{\quad}.....\ \textsf{Dari $\triangle\bold{ACF}:\ \frac{AF}{AC}=\cos(b)$, sehingga}\\\\&{\implies}\sin(a+b)=\cos(a)\times\sin(b)+\sin(a)\times\cos(b)\\\\&{\implies}\bf\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\\&{\qquad}\ \textsf{\underline{terbukti}.}\end{aligned}$}[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 03 May 22
<< Previous Post
Next Post >>