Nilai 2a + b + c sama dengan 4. (opsi C)
 

Pembahasan

h(x) = ax² + bx + c

Cara Pertama: Dengan Turunan Pertama

Nilai maksimum h(x) adalah 5 untuk x = 2. Maka:

• h(2) = 5   ...(i)
• h’(2) = 0   ...(ii) (karena nilai maksimum diperoleh pada saat h(x) stasioner)

Untuk persamaan (ii):
h'(x) = (ax² + bx + c)' = 2ax + b

Dengan x = 2:
h’(2) = 4a + b = 0
⇒ b = –4a   ...(iii)

Substitusikan nilai b ke (i).
h(2) = 5
⇒ 4a + 2b + c = 5
⇒ 4a – 8a + c = 5
⇒ –4a + c = 5   ...(iv)

Substitusikan nilai b ke h(4) = 3.
h(4) = 3
⇒ 16a + 4b + c = 3
⇒ 16a – 16a + c = 3
⇒ c = 3

Dengan c = 3, maka dari persamaan (iv) diperoleh:
–4a + 3 = 5
⇒ –4a = 2
⇒ a = –½

Oleh karena itu, dari persamaan (iii) dapat diperoleh:
b = –4(–½)
⇒ b = 2

Dengan demikian:
2a + b + c = 2(–½) + 2 + 3 = 4
____________________

Cara Kedua

Dari soal sudah diketahui bahwa titik puncak/titik maksimum h(x) adalah ketika x=2, dan nilainya adalah 5. Maka titik puncak h(x) adalah (2, 5).
Maka, persamaan kuadratnya adalah:
h(x) = y = a(x–xp)² + yp, dengan (xp, yp) = (2, 5)
⇒ y = a(x–2)² + 5

Dari soal juga sudah diketahui bahwa h(4) = 3.
Maka, kita substitusi nilai x dengan 4, dan y dengan 3, pada persamaan tersebut.
3 = a(4–2)² + 5
⇒ 3 = 4a + 5
⇒ 4a = 3–5 = –2
⇒ a = –2/4
⇒ a = –½

Oleh karena itu:
y = h(x) = –½(x–2)² + 5
⇒ h(x) = –½(x²–4x+4) + 5
⇒ h(x) = –½x² + 2x – 2 + 5
⇒ h(x) = –½x² + 2x + 3

Nilai-nilai a, b, dan c berturut-turut adalah –½, 2, dan 3.
Sehingga:
2a + b + c = 2(–½) + 2 + 3 = 4
 

KESIMPULAN

∴  Nilai 2a + b + c sama dengan 4.

_________________

Pemeriksaan (untuk cara pertama)

Dengan a = –½, b = 2, c = 3:
h(x) = –½x² + 2x + 3

• h(2) = –2 + 4 + 3 = 5  (benar)
• h(4) = –8 + 8 + 3 = 3  (benar)