1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

nomor 7,8,9 tolong ya​

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Nomor 7,8,9 tolong ya​
nomor 7,8,9 tolong ya​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

7. Nilai terkecil yang mungkin dari yadalah1038.
8. Nilai terkecil yang mungkin dari a+badalah18.
9. Banyak bilangan asli nadalah67 bilangan.
 

Pembahasan

Nomor 7

\begin{aligned}&3y^2-5x^2+8=x^3+12y+8x\\&{\Rightarrow\ }3y^2-12y+8=x^3+5x^2+8x\\&\quad\textsf{... Kedua ruas ditambah $4$}\\&{\Rightarrow\ }3y^2-12y+12=x^3+5x^2+8x+4\\&\quad\textsf{... Faktorkan kedua ruas.}\\&{\Rightarrow\ }3(y-2)^2=(x+1)\left(x^2+4x+4\right)\\&{\Rightarrow\ }3(y-2)^2=(x+1)(x+2)^2\\&{\Rightarrow\ }(y-2)^2=\left(\frac{x+1}{3}\right)(x+2)^2\quad...(\star)\\\end{aligned}

Karena xdany bilangan asli, maka kedua ruas persamaan di atas juga bernilai bilangan asli, sehingga (x+1)/3harus merupakan bilangan asli dansekaligus bilangan kuadrat sempurna.

Karena y > 1000, anggap saja y-2 = 1000, sehingga 3(y-2)^2 \ge 3\times10^6. Sedangkan (x+1)(x+2)^2berderajat 3 yang lebih darix^3.

(x+1)(x+2)^2=(x+1)(x+1+1)(x+1+1). Kita bisa lakukan pendekatan dengan 3(y-2)^2\approx(x+1)^3.

Oleh karena itu, untuk memilih nilai x,

\begin{aligned}&x+1 > \sqrt[3]{3\times10^6}\\{\Rightarrow\ }&x+1 > 100\sqrt[3]{3}\\{\Rightarrow\ }&x+1 > 100(1{,}44{\dots})\\{\Rightarrow\ }&x+1 > 144\\\end{aligned}

144\div 3=48. Bilangan kuadrat terkecil yang lebih dari 48 adalah 49.
Maka, pilih x+1=49\times3=147\implies x+2=148.

Sehingga, untuk persamaan (\star) kita peroleh:

\begin{aligned}(\star):(y-2)^2&=\left(\frac{x+1}{3}\right)(x+2)^2\\&=\left(\frac{147}{3}\right)\cdot148^2\\&=49\cdot148^2\\&=7^2\cdot148^2\\y_{\rm min}&=\sqrt{7^2\cdot148^2}+2\\&=7\cdot148+2\\&=1036+2\\\therefore\ y_{\rm min}&=\boxed{\:\bf1038\:}\end{aligned}

KESIMPULAN

∴  Nilai terkecil yang mungkin dari yadalah1038.
\blacksquare

_______________________

Nomor 8

Karena adanb memiliki faktor prima tidak lebih dari 2, maka kemungkinan banyak faktor prima dari masing-masing bilangan tersebut adalah 1 atau 2. ....(i)

Kita tahu bahwa jika p\mid qdanp\mid r, maka p\mid q+r, p\mid q-r, atau p\mid qr.

{\rm FPB}(ab,a+b,a-b)=6 dan 6 hanya memiliki 2 faktor prima yaitu 2 dan 3. Oleh karena itu, baik ab, a+b, maupun a-b harus habis dibagi 6.

Maka, berdasarkan pernyataan (i) di atas,
\begin{aligned}&(6\mid ab)\ \land\ (6\mid a+b)\ \land\ (6\mid a-b)\\&\implies(6\mid a)\ \land\ (6\mid b)\ \\\end{aligned}

Jadi, baik amaupunb merupakan kelipatan 6. Dua bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan 6 adalah 6 dan 12. Kita bisa memilih a=\bf12danb={\bf6}\implies {a+b=\boxed{\bf18}}.

Kita periksa terlebih dahulu.

\begin{aligned}&{\rm FPB}(ab,a+b,a-b)\\&={\rm FPB}72,18,6)\\&={\rm FPB}(2^3\times3^2,\ 2\times3^2,\ 2\times3)\\&=2\times3\\&=\bf6\end{aligned}

KESIMPULAN

∴  Nilai terkecil yang mungkin dari a+badalah18.
\blacksquare

_______________________

Nomor 9

-1 adalah bilangan bulat, sehingga agar menghasilkan bilangan bulat, -1 tidak perlu diikutkan dalam perhitungan.

\begin{aligned}k&=\frac{n^2}{2!}+\frac{n^4}{4!}+\frac{n^6}{6!}\,,\ k\in\mathbb{Z}\\&=\frac{n^2}{2}+\frac{n^2\cdot n^2}{2\cdot3\cdot4}+\frac{n^2\cdot n^2\cdot n^2}{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}\\&=\frac{n^2}{2}+\left(\frac{n^2}{2}\right)\left(\frac{n^2}{2^2\cdot3}\right)+\left(\frac{n^2}{2} \right)\left(\frac{n^2}{2^2\cdot3}\right)\left(\frac{n^2}{2\cdot3\cdot5}\right)\\\end{aligned}

Agar k bulat, n^2 harus habis dibagi 2, n^2harus habis dibagi2^2\cdot3, dan n^2harus habis dibagi2\cdot3\cdot5. Karena n^2 habis dibagi 2, maka sudah tentu n^2 bilangan genap, dan n pun genap, sehingga terdapat bilangan asli Kdi manan=2K\implies n^2=4K^2=2^2K^2.

Oleh karena itu, jelas bahwa n^2habis dibagi2^2. Karena n^2habis dibagi2\cdot3\cdot5, dan n genap, maka jelas pula bahwa n^2habis dibagi2^2\cdot3.

Maka, faktor prima dari n^2 adalah 2, 3, dan 5, sehingga:

\begin{aligned}&2\cdot3\cdot5\mid n^2\\&\Rightarrow 30\mid n^2\iff 30\mid n\\&\therefore\ \boxed{\:n=30m\,,\ m\in\mathbb{N}\:}\end{aligned}

Bilangan n yang memenuhi adalah 30, 60, 90, dst.

Banyak bilangan asli kelipatan 30 yang kurang dari 2022 adalah:

\begin{aligned}&\left \lfloor \frac{2022}{30} \right \rfloor=\left \lfloor 67\,\frac{12}{30} \right \rfloor=\boxed{\:\bf67\:}\end{aligned}

KESIMPULAN

∴  Banyak bilangan asli n kurang dari 2022 sehingga
-1+\dfrac{n^2}{2!}+\dfrac{n^4}{4!}+\dfrac{n^6}{6!}
merupakan bilangan bulat adalah 67 bilangan.

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 13 Sep 22
<< Previous Post
Next Post >>