Jika (x + 20°) adalah sudut lancip padap = tan

Berikut ini adalah pertanyaan dari dipplong23 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Jika (x + 20°) adalah sudut lancip padap = tan (x + 110°)/ 2cot(x + 20°)

dan

q = sin(- x + 160°) / sin(x + 20°)
maka tentukan hubungan antara 'p dan q!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\begin{aligned}&\textsf{Hubungan rasio/perbandingan}:\\&\quad\boxed{\:p\::\:q\:=\:\bf(-1)\::\:2\:}\\&\quad{\sf atau}\\&\quad\boxed{\:p\::\:q\:=\:\bf1\::\:(-2)\:}\\&\textsf{Hubungan faktor/perkalian}:\\&\quad\bullet\ \boxed{\:p=-\frac{1}{2}q=-\frac{q}{2}\:}\\&\quad\bullet\ \boxed{\:q=-2p\:}\\&\quad\bullet\ \boxed{\:pq=p=-\frac{1}{2}\:}\\\end{aligned}$

Pembahasan

Trigonometri

Diketahui

$\begin{aligned}\bullet\ &\textsf{$(x+20^{\circ})$ adalah sudut lancip.}\\\bullet\ &p=\frac{\tan(x+110^{\circ})}{2\cot(x+20^{\circ})}\\\bullet\ &q=\frac{\sin(-x+160^{\circ})}{\sin(x+20^{\circ})} \end{aligned}$

Ditanyakan

Hubungan antara $p$ dan $q$ .

PENYELESAIAN

Misalkan $\theta=x+20^{\circ}$ .

$\begin{aligned}p&=\frac{\tan(x+110^{\circ})}{2\cot(x+20^{\circ})}\\&=\frac{\tan(\theta+90^{\circ})}{2\cot\theta}\\&=\frac{\left(\dfrac{\sin(\theta+90^{\circ})}{\cos(\theta+90^{\circ})}\right)}{2\cot\theta}\\&\ \left[\ \begin{aligned}\sin(\theta+90^{\circ})&=\cos\theta\\\cos(\theta+90^{\circ})&=-\sin\theta\\\end{aligned}\right.\\&=\frac{\left(\dfrac{\cos\theta}{-\sin\theta}\right)}{2\cot\theta}=\frac{-\cancel{\cot\theta}}{2\cancel{\cot\theta}}\end{aligned}$

$\therefore\ p=\bf{-}\dfrac{1}{2}$
................................................

$\begin{aligned}q&=\frac{\sin(-x+160^{\circ})}{\sin(x+20^{\circ})}\\&=\frac{\sin(-x-20^{\circ}+180^{\circ})}{\sin\theta}\\&=\frac{\sin(-(x+20^{\circ})+180^{\circ})}{\sin\theta}\\&=\frac{\sin(-\theta+180^{\circ})}{\sin\theta}\\&\ \left[\ \begin{aligned}&\sin(x+180^{\circ})={-}\sin x\\&\Rightarrow \sin(-\theta+180^{\circ})=-\sin(-\theta)\\\end{aligned}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}q&=\frac{-\sin(-\theta)}{\sin\theta}\\&\ \left[\ \begin{aligned}&\sin(-x)={-}\sin x\\&\Rightarrow -\sin(-\theta)=-(-\sin\theta)\\&\Rightarrow -\sin(-\theta)=\sin\theta\end{aligned}\right.\\&=\frac{\sin\theta}{\sin\theta}\\\end{aligned}$