Misalkan a dan b adalah bilangan asli antara 100 dan

Berikut ini adalah pertanyaan dari mauzamauza64 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Misalkan a dan b adalah bilangan asli antara 100 dan 200 yang merupakan faktor dari 256 - 1. Jika a > b, maka a - b = ....haloo, yang bisa ngerjain ini tolong dibantu yaa, dijelasin pakai caranya. terimakasih

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Misalkan $a$ dan $b$ adalahbilangan asli antara 100 dan 200yang merupakanfaktordari $2^{56} - 1$ .
Jika $a > b$ , maka a - b ∈ {2, 14, 16, 18, 32}.
 

Pembahasan

Untuk mencari nilai $a$ dan $b$ , kita faktorkan $2^{56} - 1$ . Perhatikan bahwa antara 100 dan 200, hanya ada 1 bilangan yang merupakan nilai dari $2^n$ , yaitu $2^7=128$ .

Pertama-tama, kita akan manfaatkan $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .

$\begin{aligned}&2^{56}-1\\{=\ }&\left(2^{28}+1\right)\left(2^{28}-1\right)\\{=\ }&\left(2^{28}+1\right)\left(2^{14}+1\right)\left(2^{14}-1\right)\\{=\ }&\left(2^{28}+1\right)\left(2^{14}+1\right)\underline{\left(2^{7}+1\right)}\,\underline{\left(2^{7}-1\right)}\\\end{aligned}$

Kita telah mendapatkan 2 faktor yang memenuhi, yaitu $2^{7}+1=\bf129$ dan $2^{7}-1=\bf127$ .

Apakah hanya 2 faktor tersebut yang berada di antara 100 dan 200?

Kita periksa lagi. Kali ini, kita gunakan bentuk $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ .

Untuk faktor $\left(2^{14}+1\right)$ :

$\begin{aligned}&2^{14}+1\\{=\ }&\left(2^7+1\right)^2-2\cdot2^7\cdot1\\{=\ }&\left(2^7+1\right)^2-2^8\\{=\ }&\left(2^7+1\right)^2-\left(2^4\right)^2\\{=\ }&\left[\left(2^7+1\right)+2^4\right]\left[\left(2^7+1\right)-2^4\right]\\{=\ }&\left(129+16\right)(129-16)\\{=\ }&113\cdot145\end{aligned}$

Kita memperoleh faktor lain yang berada di antara 100 dan 200, yaitu $\bf113$ dan $\bf145$ .

Kemudian, untuk faktor $\left(2^{28}+1\right)$ :

$\begin{aligned}&2^{28}+1\\{=\ }&\left(2^4+1\right)\left(2^{24}-2^{20}+2^{16}-2^{12}+2^{8}-2^{4}+1\right)\\{=\ }&\left(2^4+1\right)\left[\left(2^4-1\right)\left(2^{20}+2^{12}+2^4\right)+1\right]\\{=\ }&\left(2^4+1\right)\left[15\cdot2^4\left(2^{16}+2^{8}+1\right)+1\right]\\{=\ }&\left(2^4+1\right)\left[\underline{120}\cdot2\left(2^{8}\left(2^8+1\right)+1\right)+1\right]\\{=\ }&\left(2^4+1\right)\left[\underline{240}\left(2^{8}\left(2^8+1\right)+1\right)+1\right]\end{aligned}$

Faktor pertama dari $2^{28}+1$ adalah $2^4+1=17$ yang merupakan bilangan prima. Sedangkan faktor kedua tidak habis dibagi oleh 120, juga oleh 240. Oleh karena itu, sudah tidak ada faktor lain dari $2^{56} - 1$ yang berada di antara 100 dan 200.

Kita memperoleh 4 faktor yang memenuhi, yaitu 113, 127, 129, dan 145, bukan hanya 2 faktor. Oleh karena itu, akan terdapat beberapa kemungkinan nilai $a-b$ .

Jika $a > b$ , maka nilai $b$ yang mungkin adalah 113, 127, dan 129.

$\begin{aligned}\sf1.\ &(a,b)=(127,113)\\&\Rightarrow a-b=\bf14\\\sf2.\ &(a,b)=(129,113)\\&\Rightarrow a-b=\bf16\\\sf3.\ &(a,b)=(145,113)\\&\Rightarrow a-b=\bf32\\\sf4.\ &(a,b)=(129,127)\\&\Rightarrow a-b=\bf2\\\sf5.\ &(a,b)=(145,127)\\&\Rightarrow a-b=\bf18\\\sf6.\ &(a,b)=(145,129)\\&\Rightarrow a-b=\bf16\\\end{aligned}$