1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Bingung apa ini jawabannya._______________________Diketahui panjang lingkaran A=8 cm dan jari-jari

Berikut ini adalah pertanyaan dari jeremisaragih44 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Bingung apa ini jawabannya._______________________
Diketahui panjang lingkaran A=8 cm dan jari-jari lingkaran B=2 c. Panjang jari-jari lingkaran C adalah....
Opsi pilihan terdapat pada gambar​
Bingung apa ini jawabannya._______________________Diketahui panjang lingkaran A=8 cm dan jari-jari lingkaran B=2 c. Panjang jari-jari lingkaran C adalah.... Opsi pilihan terdapat pada gambar​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Panjang jari-jari lingkaran C adalah 8/9 cm.

 

Pembahasan

Hubungan Antar Lingkaran

Untuk menyelesaikan persoalan ini, kita pakai cara dasar saja. Semoga bisa lebih jelas. Silahkan amati gambar yang saya berikan. Pada gambar tersebut, lingkaran yang paling besar dipotong agar memperjelas hubungan antara panjang garis-garis yang dibentuk.

Di sini, kita memiiki 3 lingkaran yang saling bersinggungan di satu titik, dan ketiga lingkaran menyinggung garis/sumbu mendatar pada bagian bawahnya.

  • Lingkaran paling besar adalah lingkaran A, dengan titik pusat A, dan memiliki panjang jari-jari a.
  • Lingkaran kedua, yaitu lingkaran B, bertitik pusat B, danmemiliki panjang jari-jari b.
  • Lingkaran ketiga, yaitu lingkaran C, bertitik pusat C, dan memiliki panjang jari-jari c.

Jarak antara titik pusat A dan B adalah:

\large\text{$\begin{aligned}|AB|=a+b\end{aligned}$}

Jarak antara titik pusat A dan C adalah:

\large\text{$\begin{aligned}|AC|=a+c\end{aligned}$}

Jarak antara titik pusat B dan C adalah:

\large\text{$\begin{aligned}|BC|=b+c\end{aligned}$}

Misalkan x_{AB}menyatakanjarak mendatar dari titik A ke titik B, x_{AC} menyatakan jarak mendatar dari titik A ke titik C, dan x_{BC} menyatakan jarak mendatar dari titik B ke titik C. Maka berlaku:

\large\text{$\begin{aligned}|x_{AB}|=|x_{AC}|+|x_{BC}|\quad...(i)\end{aligned}$}

Misalkan pula y_{AB} menyatakan jarak tegak (vertikal) dari titik A ke titik B, y_{AC} menyatakan jarak tegak (vertikal) dari titik A ke titik C, dan y_{BC} menyatakan jarak tegak (vertikal) dari titik B ke titik C. Maka berlaku:

\large\text{$\begin{aligned}\bullet\ &|y_{AB}|=a-b\\\bullet\ &|y_{AC}|=a-c\\\bullet\ &|y_{BC}|=b-c\\\end{aligned}$}

Berdasarkan teorema Pythagoras, dari semua segitiga siku-siku yang terbentuk, dapat ditentukan bahwa:

\begin{aligned}|x_{AB}|&=\sqrt{{|AB|}^2-{y_{AB}}^2}\\&=\sqrt{{(a+b)}^2-{(a-b)}^2}\\|x_{AB}|&=\sqrt{4ab}\\\\|x_{AC}|&=\sqrt{{|AC|}^2-{y_{AC}}^2}\\&=\sqrt{{(a+c)}^2-{(a-c)}^2}\\|x_{AC}|&=\sqrt{4ac}\\\\|x_{BC}|&=\sqrt{{|BC|}^2-{y_{BC}}^2}\\&=\sqrt{{(b+c)}^2-{(b-c)}^2}\\|x_{BC}|&=\sqrt{4bc}\\\end{aligned}

Kita substitusi hasil-hasil tersebut pada persamaan (i), sehingga diperoleh:

\begin{aligned}&|x_{AB}|=|x_{AC}|+|x_{BC}|\\&{\Rightarrow\ }\sqrt{4ab}=\sqrt{4ac}+\sqrt{4bc}\\&{\quad}\textsf{... bagi kedua ruas dengan }\sqrt{4abc}\\&{\Rightarrow\ }\frac{\sqrt{4ab}}{\sqrt{4abc}}=\frac{\sqrt{4ac}}{\sqrt{4abc}}+\frac{\sqrt{4bc}}{\sqrt{4abc}}\\&{\Rightarrow\ }\sqrt{\frac{4ab}{4abc}}=\sqrt{\frac{4ac}{4abc}}+\sqrt{\frac{4bc}{4abc}}\\&{\Rightarrow\ }\frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\\\end{aligned}
\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\sqrt{c}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\&{\Rightarrow\ }c=\frac{ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\end{aligned}

Dari soal, diketahui bahwa a = 8 cmdanb = 2 cm.

Substitusi ke dalam rumus terakhir.

\begin{aligned}c&=\frac{8\cdot2}{8+2+2\sqrt{8\cdot2}}\\&=\frac{16}{10+2\sqrt{16}}\\&=\frac{16}{10+8}\ =\ \frac{16}{18}\\&=\boxed{\ \bf\frac{8}{9}\:\:cm\ }\end{aligned}

 

KESIMPULAN

∴  Panjang jari-jari lingkaran C adalah 8/9 cm.

 

Panjang jari-jari lingkaran C adalah 8/9 cm. PembahasanHubungan Antar LingkaranUntuk menyelesaikan persoalan ini, kita pakai cara dasar saja. Semoga bisa lebih jelas. Silahkan amati gambar yang saya berikan. Pada gambar tersebut, lingkaran yang paling besar dipotong agar memperjelas hubungan antara panjang garis-garis yang dibentuk.Di sini, kita memiiki 3 lingkaran yang saling bersinggungan di satu titik, dan ketiga lingkaran menyinggung garis/sumbu mendatar pada bagian bawahnya. Lingkaran paling besar adalah lingkaran A, dengan titik pusat A, dan memiliki panjang jari-jari [tex]a[/tex]. Lingkaran kedua, yaitu lingkaran B, bertitik pusat B, danmemiliki panjang jari-jari [tex]b[/tex]. Lingkaran ketiga, yaitu lingkaran C, bertitik pusat C, dan memiliki panjang jari-jari [tex]c[/tex].Jarak antara titik pusat A dan B adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}|AB|=a+b\end{aligned}$}[/tex]Jarak antara titik pusat A dan C adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}|AC|=a+c\end{aligned}$}[/tex]Jarak antara titik pusat B dan C adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}|BC|=b+c\end{aligned}$}[/tex]Misalkan [tex]x_{AB}[/tex] menyatakan jarak mendatar dari titik A ke titik B, [tex]x_{AC}[/tex] menyatakan jarak mendatar dari titik A ke titik C, dan [tex]x_{BC}[/tex] menyatakan jarak mendatar dari titik B ke titik C. Maka berlaku:[tex]\large\text{$\begin{aligned}|x_{AB}|=|x_{AC}|+|x_{BC}|\quad...(i)\end{aligned}$}[/tex]Misalkan pula [tex]y_{AB}[/tex] menyatakan jarak tegak (vertikal) dari titik A ke titik B, [tex]y_{AC}[/tex] menyatakan jarak tegak (vertikal) dari titik A ke titik C, dan [tex]y_{BC}[/tex] menyatakan jarak tegak (vertikal) dari titik B ke titik C. Maka berlaku:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\bullet\ &|y_{AB}|=a-b\\\bullet\ &|y_{AC}|=a-c\\\bullet\ &|y_{BC}|=b-c\\\end{aligned}$}[/tex]Berdasarkan teorema Pythagoras, dari semua segitiga siku-siku yang terbentuk, dapat ditentukan bahwa:[tex]\begin{aligned}|x_{AB}|&=\sqrt{{|AB|}^2-{y_{AB}}^2}\\&=\sqrt{{(a+b)}^2-{(a-b)}^2}\\|x_{AB}|&=\sqrt{4ab}\\\\|x_{AC}|&=\sqrt{{|AC|}^2-{y_{AC}}^2}\\&=\sqrt{{(a+c)}^2-{(a-c)}^2}\\|x_{AC}|&=\sqrt{4ac}\\\\|x_{BC}|&=\sqrt{{|BC|}^2-{y_{BC}}^2}\\&=\sqrt{{(b+c)}^2-{(b-c)}^2}\\|x_{BC}|&=\sqrt{4bc}\\\end{aligned}[/tex]Kita substitusi hasil-hasil tersebut pada persamaan [tex](i)[/tex], sehingga diperoleh:[tex]\begin{aligned}&|x_{AB}|=|x_{AC}|+|x_{BC}|\\&{\Rightarrow\ }\sqrt{4ab}=\sqrt{4ac}+\sqrt{4bc}\\&{\quad}\textsf{... bagi kedua ruas dengan }\sqrt{4abc}\\&{\Rightarrow\ }\frac{\sqrt{4ab}}{\sqrt{4abc}}=\frac{\sqrt{4ac}}{\sqrt{4abc}}+\frac{\sqrt{4bc}}{\sqrt{4abc}}\\&{\Rightarrow\ }\sqrt{\frac{4ab}{4abc}}=\sqrt{\frac{4ac}{4abc}}+\sqrt{\frac{4bc}{4abc}}\\&{\Rightarrow\ }\frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }\sqrt{c}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\&{\Rightarrow\ }c=\frac{ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\end{aligned}[/tex]Dari soal, diketahui bahwa a = 8 cm dan b = 2 cm.Substitusi ke dalam rumus terakhir.[tex]\begin{aligned}c&=\frac{8\cdot2}{8+2+2\sqrt{8\cdot2}}\\&=\frac{16}{10+2\sqrt{16}}\\&=\frac{16}{10+8}\ =\ \frac{16}{18}\\&=\boxed{\ \bf\frac{8}{9}\:\:cm\ }\end{aligned}[/tex] KESIMPULAN∴  Panjang jari-jari lingkaran C adalah 8/9 cm. 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 30 Jul 22
<< Previous Post
Next Post >>