Pernyataan/pertidaksamaan bahwa 7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2n + 5) > n² + 5n untuk n ∈ bilangan asli terbukti.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pernyataan/pertidaksamaan yang ingin dibuktikan adalah:
7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2n + 5) > n² + 5n

Pembuktian dengan Induksi Matematika

BASIS INDUKSI

Untuk n = 1, 7 > 1 + 5 adalah pernyataan/pertidaksamaan yang benar.

ASUMSI/HIPOTESIS

Diandaikan benar untuk n = k, yaitu:
7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2k + 5) > k² + 5k
harus dibuktikan/ditunjukkan bahwa benar pula untuk n = k + 1, yaitu:
7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2k + 5) + (2k + 7) > (k + 1)² + 5(k + 1)

LANGKAH INDUKSI

7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2k + 5) + (2k + 7) > (k + 1)² + 5(k + 1)

• Dari asumsi/hipotesis:
  7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2k + 5) > k² + 5k

Maka:
k² + 5k + (2k + 7) > (k + 1)² + 5(k + 1)
⇒ k² + 2k + 5k + 7 > (k + 1)² + 5(k + 1)
⇒ k² + 2k + 1 + 5k + 5 + 1 > (k + 1)² + 5(k + 1)
⇒ (k + 1)² + 5(k + 1) + 1 > (k + 1)² + 5(k + 1)
   Kedua ruas dikurangi (k + 1)² + 5(k + 1).
⇒ 1 > 0
⇒ Merupakan pertidaksamaan yang benar.

KESIMPULAN
∴ Karena basis induksi membuktikan bahwa pernyataan/pertidaksamaan benar, dan berdasarkan asumsi yang ditetapkan untuk n = k telah dapat dibuktikan bahwa pernyataan/pertidaksamaan benar pula untuk n = k + 1, maka dapat disimpulkan bahwa:
pernyataan/pertidaksamaan 7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2n + 5) > n² + 5n untuk n ∈ bilangan asli terbukti.