Jawaban:

Diketahui dua digit terakhir x^{777}x

777

adalah 7. Maka dua digit terakhir dari xx adalah 17.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Misalkan m\in \mathbb{N}m∈N dan ada dua bilangan yaitu a dan b. a dikatakan kongruen dengan b modulo m (a\equiv b \mod m)(a≡bmodm) jika dan hanya jika m|(a-b)m∣(a−b) . Teorema Euler menyatakan bahwa misalkan terdapat n yang merupakan bilangan bulat positif dan a adalah bilangan bulat yang relatif prima dengan n, maka berlaku

a^{\varphi(n)}\equiv 1 (\mod n)a

φ(n)

≡1(modn)

dimana \varphi(n)φ(n) merupakan fungsi phi Euler, yaitu fungsi yang menghitung banyaknya bilangan bulat positif kurang dari n yang relatif prima dengan n.

Diketahui:

Dua digit terakhir x^{777}x

777

adalah 7

Ditanyakan:

Dua digit terakhir dari xx

Pembahasan:

Dua digit terakhir x^{777}x

777

adalah 7, sehingga diperoleh bahwa x^{777}=77(\mod 100)x

777

=77(mod100) atau x^{777}=7(\mod 10)x

777

=7(mod10) .

Menurut teorema Euler, xx relatif prima dengan 10 dan \varphi(10)=4φ(10)=4 , maka x^4\equiv1 (\mod10)x

4

≡1(mod10) . Sehingga diperoleh:

x^{777}=7(\mod 10) \implies (x^4)^{194}\cdot x\equiv 7(\mod 10)x

777

=7(mod10)⟹(x

4

)

194

⋅x≡7(mod10)

\iff x \equiv 7 (\mod 10)⟺x≡7(mod10)

Karena x \equiv 7 (\mod 10)x≡7(mod10) , maka dua digit terakhir dari xx dapat dinyatakan dengan x=10k+7x=10k+7 . Dengan teorema euler, xx relatif prima dengan 100 dan \varphi(100)=40φ(100)=40 , maka x^{40}\equiv1 (\mod100)x

40

≡1(mod100) . Sehingga diperoleh:

x^{777}=7(\mod 10) \implies (x^{40})^{19} \cdot x^{17} \equiv 77 (\mod 100)x

777

=7(mod10)⟹(x

40

)

19

⋅x

17

≡77(mod100)

\begin{gathered}\iff x^{17} \equiv 77 (\mod 100)\\\iff (10k+17)^{17} \equiv 77 (\mod 100)\\\iff 170k\cdot 7^{16} +7^{17} \equiv 77 (\mod 100)\\\iff 170k\cdot (7^{4})^4 +(7^4)^4\cdot 7 \equiv 77 (\mod 100)\\\iff 170k\cdot (1)^4 +(1)^4\cdot 7 \equiv 77 (\mod 100)\\\iff 170k +7 \equiv 77 (\mod 100)\\\iff 70k\equiv 70 (\mod 100)\\\iff 7k\equiv 7 (\mod 10)\\\iff k\equiv 1 (\mod 10)\end{gathered}

⟺x

17

≡77(mod100)

⟺(10k+17)

17

≡77(mod100)

⟺170k⋅7

16

+7

17

≡77(mod100)

⟺170k⋅(7

4

)

4

+(7

4

)

4

⋅7≡77(mod100)

⟺170k⋅(1)

4

+(1)

4

⋅7≡77(mod100)

⟺170k+7≡77(mod100)

⟺70k≡70(mod100)

⟺7k≡7(mod10)

⟺k≡1(mod10)

Sehingga didapatkan k=1k=1 . Maka x=10(1)+7=17x=10(1)+7=17 .

Jadi, dua digit terakhir dari xx adalah 17.