Perhatikan persamaan berikut![tex]\small {\tt{4 \: in \: ( | \frac{x

Berikut ini adalah pertanyaan dari CattusCactus pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Perhatikan persamaan berikut! $\small {\tt{4 \: in \: ( | \frac{x + 1}{x - 1} | ) = in \: {( | \frac{x + 1}{x - 1} | ) }^{4} }}$
Kan persamaan tersebut ada tiga penyelesaian, Nah pertanyaannya Kalo semua penyelesaiannya dijumlahkan hasilnya berapa?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jumlah dari semua penyelesaian dari

$4\ln\left(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\right)=\left(\ln\left(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\right)\right)^4$

adalah

$\large\text{$\bf2+\dfrac{4}{e^{2\sqrt[\bf3]{\bf4}}-1}$}$

Pembahasan

$\begin{aligned}4\ln\left(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\right)=\left(\ln\left(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\right)\right)^4\\\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{\sf Misalkan\ }u=\ln\left(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\right)\\&\Rightarrow 4u=u^4\\&\Rightarrow u^4-4u=0\\&\Rightarrow u(u^3-4)=0\\&\Rightarrow u=0\,,\ u=\sqrt[3]{4}\\\end{aligned}$

Untuk $u=0$ :

$\displaystyle\ln\left(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\right)=0$

${\Rightarrow\ }\displaystyle\ln\left(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\right)=\ln 1$

${\Rightarrow\ }\displaystyle\left|\frac{x+1}{x-1}\right|=1$

${\Rightarrow\ }\displaystyle|x+1|=|x-1|$

${\Rightarrow\ }\displaystyle x_1=\bf0$

Untuk $u=\sqrt[3]{4}$ :

$\displaystyle\ln\left(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\right)=\sqrt[3]{4}$

$\displaystyle{\Rightarrow\ }\ln\left(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\right)=\ln\left(e^{\sqrt[3]{4}}\right)$

$\displaystyle{\Rightarrow\ }\left|\frac{x+1}{x-1}\right|=e^{\sqrt[3]{4}}$

$\displaystyle{\Rightarrow\ }\frac{x+1}{x-1}=e^{\sqrt[3]{4}}\,,\ \frac{x+1}{x-1}=-e^{\sqrt[3]{4}}$

$\displaystyle{\Rightarrow\ }(i)\ x+1=xe^{\sqrt[3]{4}}-e^{\sqrt[3]{4}}\,,$

$.\displaystyle{\quad}(ii)\ x+1=-xe^{\sqrt[3]{4}}+e^{\sqrt[3]{4}}$

$\displaystyle{\Rightarrow\ }(i)\ x\left(1-e^{\sqrt[3]{4}}\right)=-1-e^{\sqrt[3]{4}}\,,$

$.\displaystyle{\quad}(ii)\ x\left(1+e^{\sqrt[3]{4}}\right)=-1+e^{\sqrt[3]{4}}$

$\displaystyle{\Rightarrow\ }x_2=\frac{-1-e^{\sqrt[3]{4}}}{1-e^{\sqrt[3]{4}}}\,,\ x_3=\frac{-1+e^{\sqrt[3]{4}}}{1+e^{\sqrt[3]{4}}}$

$\displaystyle{\Rightarrow\ }x_2=\frac{e^{\sqrt[3]{4}}+1}{e^{\sqrt[3]{4}}-1}\,,\ x_3=\frac{e^{\sqrt[3]{4}}-1}{{e}^{\sqrt[3]{4}}+1}$

Jumlah dari semua penyelesaiannya adalah:

$\displaystyle x_1+x_2+x_3$

$\displaystyle{=\ }0+\frac{e^{\sqrt[3]{4}}+1}{e^{\sqrt[3]{4}}-1}+\frac{e^{\sqrt[3]{4}}-1}{e^{\sqrt[3]{4}}+1}$

$\displaystyle{=\ }\frac{e^{\sqrt[3]{4}}+1}{e^{\sqrt[3]{4}}-1}+\frac{e^{\sqrt[3]{4}}-1}{e^{\sqrt[3]{4}}+1}$

$\displaystyle{=\ }\frac{\left(e^{\sqrt[3]{4}}+1\right)^2+\left(e^{\sqrt[3]{4}}-1\right)^2}{\left(e^{\sqrt[3]{4}}-1\right)\left(e^{\sqrt[3]{4}}+1\right)}$

$.\quad\left[\ \begin{aligned}&\frac{(x+1)^2+(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{2x^2+2}{x^2-1}\\&=\frac{2(x^2-1)+4}{x^2-1}\\&=2+\frac{4}{x^2-1}\end{aligned}\right.$