Perhatikan gambar di samping. Di dalam bola yang berdiameter 25 cm terdapat kerucut sehingga rusuk alas kerucut menyinggung kulit bola dan titik puncak kerucut terletak pada kulit bola. Jika panjang garis pelukis kerucut 20cm. Tentukan jari jari kerucut.

A. 8cm

B. 12cm

C. 15cm

D. 24cm

Jawaban

Pendahuluan

Soal matematika di atas merupakan materi dari jari-jari pada lingkaran yang bersinggungan di luar segitiga.  

Pembahasan

Lingkaran adalah suatu geometri bidang atau bangun datar dimana terdapat kumpulan titik-titik yang mempunyai jarak yang bernilai sama atau tetap terhadap titik tunggal yang bersifat semu, sehingga titik-titik tersebut membentuk garis tertutup berupa lengkungan dalam satu putaran penuh secara berulang-ulang.

Jarak setiap titik-titik yang sama besarnya terhadap titik tunggal disebut sebagai jari-jari lingkaran, sedangan titik tunggal yang bersifat semu disebut sebagai titik pusat lingkaran. Jarak terbesar atau terjauh dari kedua ujung lingkaran disebut sebagai diameter lingkaran, sehingga titik pusat selalu berada di tengah diameternya. Setiap lingkaran juga mempunyai sudut penuh atau satu putaran penuh yaitu bernilai 360 derajat (360°).

Pada suatu bidang lingkaran terdapat jari-jari lingkaran (r) atau setengah diameter lingkaran (d/2) sehingga bentuk persamaannya yaitu r = d/2ataud = 2r. Rumus umum lingkaran adalah dengan menggunakan nilai konstanta pi/phiyang dinotasikan dalamπyang mempunyai nilai bilangan riil yang mendekati bilangan pecahan22/7dan bilangan desimal3,14sehingga ditulis menjadiπ ≈ 22/7 ≈ 3,14.

Rumus menghitung keliling lingkaran

K = π ⋅ 2r  = 2πr

K = π ⋅ d  = πd

Rumus menghitung luas lingkaran

L = π ⋅ r ⋅ r = π ⋅ r²  = πr²

L = π ⋅ d/2 ⋅ d/2 = π ⋅ d²/4  = (1/4)πd²

Teorema phytagoras adalah teori untuk menentukan besar garis diagonal/miring terhadap garis vertikal/tegak dan garis horizontal/datar.

Rumus phytagoras secara umum digambarkan sebagai segitiga siku-siku dengan sebuah sudut istimewayaitusudut siku-sikusebesar90 derajat atau sudut 90°.

Misalnya, terdapat segitiga siku-siku ABCatauΔABCdimana terdapatgaris miring AB dengan panjang c, garis datar AC dengan panjang b, dan garis datar BC dengan panjang a, sehingga hubungan antara ketiga garis tersebut dirumuskan dalam persamaan phytagoras berikut.

Lingkaran yang bersinggungan terhadap titik-titik sudut segitigaterbagi menjadi dua jenis yaitulingkaran dalam segitigadanlingkaran luar segitiga. Misalnya, terdapat sebuah segitiga dengan a, b, dan c adalah sisi-sisi segitiga sebuah lingkaran dengan r adalah jari-jari lingkaran.

Rumus jari-jari pada lingkaran dalam segitiga

r = L segitiga / s

r = 2 L segitiga / K segitiga

r = 2 L segitiga / (a+b+c)

Rumus jari-jari pada lingkaran luar segitiga

r = abc / (4 L segitiga)

Perlu diketahui bahwa nilai sadalahsetengah dari keliling segitigaatau ditulis menjadis = K segitiga /2 = (a + b + c)/2.

Perlu diketahui juga bahwa luas segitiga sembarang atau tidak beraturan dapat dicari dengan rumus berikut, yaitu L segitiga = √[s(s-a)(s-b)(s-c)].

Penyelesaian soal untuk materi bangun ruang kerucut yang berada di dalam bangun ruang bola adalah sebagai berikut.

Diketahui:

Kerucut yang terlihat seperti segitiga berada di dalam bola yang terlihat seperti lingkaran dan saling bersinggungan.

Kerucut @ s = 20 cm

Bola @ d2 = 25 cm

Ditanya:

Jari-jari kerucut (r1) ?

Jawab:

Bangun ruang kerucut yang letaknya berada di dalam sebuah bola terlihat seperti bangun datar segitiga sama kaki dengan kedua garis pelukisnya sebesar 20 cm dan alasnya yaitu diameter kerucut atau d1.

Tinggi kerucut atau t dapat dicari dengan rumus jari-jari pada lingkaran dalam segitiga.

r = (a ⋅ b ⋅ c) / 4L

d2/2 = (s ⋅ s ⋅ d1) / [4(d1 ⋅ t)/2]

25cm = (20cm ⋅ 20cm ⋅ d1) / (d1 ⋅ t)

25 = 400cm/t

t = 400cm/25

t = 16cm

Jari-jari kerucut dapat dicari dengan rumus phytagoras dengan sisi miring 20 cm dan sisi tegak 16 cm.

r = √ (s² - t²)

r = √ [(20cm)² - (16cm)²]

r = √ (400cm² - 256cm²)

r = √ 144cm²

r = 12cm

Jari-jari kerucut adalah sebesar 12 cmataur1 = 12cm, sehingga pilihan yang tepat untuk menjawab soal di atas adalah pilihan B.

Kesimpulan

Kerucut yang terlihat seperti segitiga berada di dalam bola yang terlihat seperti lingkaran dan saling bersinggungan. Jika diameter bola atau d2 = 25 cm dan garis pelukis kerucut atau s =  20 cm, maka jari-jari kerucut adalah sebesar 12 cmataur1 = 12cm.

Pelajari lebih lanjut

1. Materi dan soal lingkaran luar segitiga yomemimo.com/tugas/20845909

2. Materi dan soal lingkaran luar segitiga yomemimo.com/tugas/8431693

-----------------------------

Detil Jawaban

Kelas : 8/VIII (2 SMP)

Mapel : Matematika

Bab : Bab 7 - Lingkaran

Kode : 8.2.7

Kata Kunci : garis singgung, lingkaran luar segitiga, phytagoras, diameter, jari-jari, kerucut, bola

===