PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

Logaritma adalah suatu invers atau kebalikan dari pemangkatan yang juga digunakan untuk menentukan besar pangkat dari suatu bilangan pokok. Tak hanya di bidang studi matematika, logaritma juga sering digunakan pada soal perhitungan di bidang studi lain, misalnya menentukan orde reaksi dalam pelajaran laju reaksi kimia, menentukan koefisien serap bunyi dalam pelajaran akustik dan lain sebagainya. 

Secara umum, operasi logaritma dapat diartikan sebagai operasi kebalikan dari suatu nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya.

Kali ini kita akan membahas beberapa contoh soal mengenai pertidaksamaan logaritma.

Agar lebih jelasnya, simak pembahasan berikut.

PEMBAHASAN :

Tulislah 10 contoh soal pertidaksamaan logaritma beserta jawabannya.

1.  5log 3x + 5 < 5log 35

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)

3x + 5 < 35

      3x < 30

        x < 10  ....(2)

Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

2.  3log (2x + 3) > 3log 15

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2x + 3 > 15

      2x > 12

        x > 6  ....(2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.

3.  2log (6x + 2) < 2log (x + 27)

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)

x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

6x + 2 < x + 27

 6x – x < 27 – 2

      5x < 25

        x < 5   ..... (3)

Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5

4.  2log (5x – 16) < 6

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma:

5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2log (5x – 16) < 2log 26

2log (5x – 16) < 2log 64

         5x – 16 <  64

                5x < 80

                  x < 16 . . . . (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.

5.  4log (2x² + 24) > 4log (x² + 10x)

Pembahasan :

Syarat nilai pada logaritma.

2x² + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x  . . . (1)

x² + 10x > 0, maka x < -10  atau x > 0 . . . . (2)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x² + 24) >  (x² + 10x)

2x² - x² - 10x + 24 > 0

        x² - 10x + 24 > 0

        (x – 4)(x – 6) >0

       x < 4 atau x > 6 ....(3)

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.

6.  ^(x + 1)log (2x – 3) < ^(x + 1)log (x + 5)

Pembahasan :

Syarat nilai pada bilangan x + 1>0  

Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0 < x + 1 < 1 dan x + 1 > 1, sehingga diperoleh batas - batas berikut.

Untuk  0<x+1<1 atau -1 < x <0. . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.

2x – 3 > 0, maka x > 3/2       . . . (2)

x + 5 > 0, maka x > -5        . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x – 3) >  (x + 5)

  2x - x > 5 + 3

          x >  8 ...(4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian.

Untuk  x + 1 > 1 atau x > 0 . . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.

2x – 3 > 0, maka x>3/2 . . . (2)

x + 5 > 0, maka x > -5  . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(2x – 3) <  (x + 5)

   2x - x < 5 + 3

          x <  8 ...(4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 3/2 < x < 8.

Jadi, penyelesaiannya adalah 3/2 < x < 8.

7.  ^(2x - 5)log (x² + 5x) > ^(2x - 5)log (4x + 12)

Pembahasan :

Syarat nilai pada bilangan 2x - 5 > 0  

Batas ini dibagi menjadi 2, yaitu 0 < 2x - 5 < 1 dan 2x - 5 > 1, sehingga diperoleh batas - batas berikut.

Untuk  0< 2x - 5 < 1 atau 5/2 < x < 3. . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.

x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0 . . . (2)

4x + 12 > 0, maka x > -3  . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(x² + 5x) < (4x + 12)

x² + 5x - 4x - 12 < 0

        x² + x - 12 < 0

    (x + 4)(x - 3) < 0 

       -4 < x < 3   . . . . . (4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.

Untuk  2x - 5 > 1 atau  x > 3       . . . (1) 

Syarat nilai pada logaritma.

x² + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0       . . . (2)

4x - 12 > 0, maka x > 3            . . . (3)

Perbandingan nilai pada logaritma

(x² + 5x) > (4x + 12)

x² + 5x - 4x - 12 > 0

         x² + x - 12 > 0

(x + 4)(x - 3) > 0 

x < -4 atau  x > 3        . . . . . (4)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.

Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 dan x < 3.

DETAIL JAWABAN

MAPEL : MATEMATIKA

KELAS : X

MATERI : BENTUK AKAR, EKSPONEN, LOGARITMA

KODE KATEGORISASI : 10.2.1.1