Untuk menguraikan fungsi \(\sin(x)\) dalam deret Taylor terpotong sampai orde 4 di sekitar \(x = 0\), kita perlu menghitung turunan fungsi tersebut.

Pertama, kita memiliki fungsi \(\sin(x)\) dan titik ekspansi \(x = 0\). Kita dapat menentukan nilai koefisien deret Taylor dengan menggunakan rumus umum:

\[f^{(n)}(0) = \frac{1}{n!} \left(\frac{d}{dx}\right)^n f(x) \bigg|_{x=0}\]

Mari kita hitung turunan fungsi \(\sin(x)\) hingga orde 4:

\(\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)\)

\(\frac{d^2}{dx^2} \sin(x) = -\sin(x)\)

\(\frac{d^3}{dx^3} \sin(x) = -\cos(x)\)

\(\frac{d^4}{dx^4} \sin(x) = \sin(x)\)

Sekarang kita dapat menentukan nilai-nilai turunan ini di \(x = 0\):

\(f(0) = \sin(0) = 0\)

\(f'(0) = \cos(0) = 1\)

\(f''(0) = -\sin(0) = 0\)

\(f'''(0) = -\cos(0) = -1\)

\(f''''(0) = \sin(0) = 0\)

Menggunakan rumus deret Taylor, kita dapat menguraikan fungsi \(\sin(x)\) menjadi deret:

\[\sin(x) = f(0) + f'(0) \cdot x + \frac{f''(0)}{2!} \cdot x^2 + \frac{f'''(0)}{3!} \cdot x^3 + \frac{f''''(0)}{4!} \cdot x^4\]

\[\sin(x) = 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1) \cdot \frac{x^3}{3!} + 0 \cdot \frac{x^4}{4!}\]

\[\sin(x) = x - \frac{x^3}{6}\]

Jadi, deret Taylor terpotong sampai orde 4 untuk \(\sin(x)\) di sekitar \(x = 0\) adalah \(x - \frac{x^3}{6}\).

makasihnya jangan lupa : http://saweria.co/yusufwahyur