Roslan menabung uang di Bank Amarta sebesar A juta rupiah

Berikut ini adalah pertanyaan dari lulunrlhfsh7023 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Roslan menabung uang di Bank Amarta sebesar A juta rupiah pada awal tahun dengan sistem bunga majemuk dengan periode pembungaan pertahun. Pada akhir tahun ke-4 tabungannya menjadi B juta rupiah. Pada awal tahun ke-5, ia kembali menabung uang sebesar A juta rupiah.Besar tabungan Roslan pada akhir tahun ke-8 adalah ... juta rupiah.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Besar bunga Roslan pada akhir tahun ke-8 adalah Cb⁴+4Cb³+6Cb²+4Cb +C juta rupiah. Keterangan untuk variabel-variabel tersebut:

$\boxed{\begin{array}{ll} \sf b&\sf = persen~bunga ~pertahun.\\\\\sf &\sf = \left(\dfrac{B}{A}\right)^{\dfrac{1}{4}}-1\\\\\sf C &\sf = A +B\\\\\sf A &\sf = Modal~awal~tahun ~pertama.\\\\\sf B &\sf = Modal~total~Roslan~akhir~tahun ~ke-4.\end{array}}$

Penjelasan dengan langkah-langkah

Suku bunga majemuk adalah suku bunga yang diterapkan pada pinjaman atau investasi di mana bunga yang dihasilkan akan diakumulasikan pada setiap periode tertentu dan dijadikan sebagai dasar untuk menghitung bunga berikutnya. Dalam suku bunga majemuk, jumlah bunga yang diperoleh setiap periode akan terus bertambah seiring dengan bertambahnya periode waktu. Berikut persamaannya:

$\bf M = M_o(1+b)^n$

Keterangan:

b = persentase bunga.
n = periode menabung.
M = uang di akhir tahun ke-n.
Mo = modal awal.

Diketahui:

Suku bunga majemuk.
Mo = A juta rupiah.
M₄ = B juta rupiah.
Mo₂ = A juta rupiah.

Ditanyakan:

M₈ = ?

Penyelesaian:

Langkah 1
Perhitungan bunga pertahun.

$\begin{array}{ll} \sf M_4 &\sf = M_o(1+b)^4\\\\ \sf B&\sf = A (1+b)^4\\\\ \sf \dfrac{B}{A}&\sf = (1+b)^4\\\\ \sf 1+b &\sf = \left(\dfrac{B}{A}\right)^{\dfrac{1}{4}}\\\\ \sf b&\sf = \left(\dfrac{B}{A}\right)^{\dfrac{1}{4}}-1\end{array}$

Langkah 2
Perhitungan tabungan Roslan pada akhir tahun ke-8.

Ingat:
Tabungan awal tahun ke-5 = A + B
Dimisalkan:
A+B = C juta rupiah.
Perhitungan dari:
Akhir tahun ke-5, ke-6, ke-7, dan ke-8.
n₂ = 4.
Kalkulasi:
$\begin{array}{ll} \sf M_8 &\sf = (M_4+A)(1+b)^{n_2}\\\\&\sf =(B+A)(1+b)^4\\\\&\sf = (C)(b^4+4b^3+6b^2+4b+1)\\\\&\sf =Cb^4+4Cb^3+6Cb^2+4Cb+C.\end{array}$
Dengan,
C = A + B
dan
$\sf b = \left(\dfrac{B}{A}\right)^{\dfrac{1}{4}}-1$