Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 1 dan y = x 3 diputar mengelilingi sumbu x adalah …. SV

Question

mikaelPranata · Accepted Answer

Untuk menemukan volume benda putar, kita dapat menggunakan metode diskus atau metode cincin. Karena sumbu rotasi adalah sumbu x dan kurva yang membentuk benda putar adalah y = x^2 dan y = x^3, maka dalam hal ini metode yang lebih mudah adalah metode cincin.

Langkah pertama adalah mencari jarak antara kurva y = x^2 dan y = x^3 pada interval [0,1]. Jarak ini akan menjadi jarak r untuk setiap cincin. Berdasarkan gambar grafik, jarak ini dapat ditemukan dengan:

$\red{\boxed{\boxed{\blue{r = x^3 - x^2}}}}$

Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus volume cincin, yaitu:

$\red{\boxed{\boxed{\blue{dV = πr^2 dh}}}}$

dengan dh adalah tinggi cincin atau ketebalan cincin yang sangat kecil.

Karena sumbu rotasi adalah sumbu x, maka kita dapat mengekspresikan rumus di atas dalam bentuk integral berikut:

$\red{\boxed{\boxed{\blue{V = ∫[a,b] πr^2 dx}}}}$

dengan a dan b masing-masing adalah batas bawah dan batas atas integral, yang dalam hal ini a=0 dan b=1. Dengan menggabungkan rumus volume cincin dan rumus jarak antara dua kurva, maka integral di atas menjadi:

$\red{\boxed{\boxed{\blue{V = ∫[0,1] π(x^3 - x^2)^2 dx }}}}$

Kita dapat menyelesaikan integral di atas dengan menggunakan teknik integrasi parsial atau dengan mengalikan dan menyelesaikan setiap istilah dalam kurung terlebih dahulu. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan hasil:

$\red{\boxed{\boxed{\blue{V = π/30}}}}$