1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis Tentukan nilai dari: [tex] \frac{ 2 }{ {3}^{2}

Berikut ini adalah pertanyaan dari kelvinho018527 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

KuisTentukan nilai dari:
\frac{ 2 }{ {3}^{2} - 3(3) + 2} + \frac{2}{ {4}^{2} - 3(4) + 2} + ... + \frac{2}{2022 {}^{2} - 3(2022) + 2 }
​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari deret
\dfrac{2}{{3}^{2}-3(3)+2}+\dfrac{2}{{4}^{2}-3(4)+2}+{\dots}+\dfrac{2}{2022^{2}-3(2022)+2}
adalah 4040/2021.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita akan menentukan nilai dari

\dfrac{2}{{3}^{2}-3(3)+2}+\dfrac{2}{{4}^{2}-3(4)+2}+{\dots}+\dfrac{2}{2022^{2}-3(2022)+2}

Kita coba selesaikan dengan notasi sigma.

\begin{aligned}&\frac{2}{{3}^{2}-3(3)+2}+\frac{2}{{4}^{2}-3(4)+2}+{\dots}+\frac{2}{2022^{2}-3(2022)+2}\\&{=\ }\sum_{n=3}^{2022}\frac{2}{n^2-3n+2}\\&{=\ }\sum_{n=3}^{2022}\left(2\cdot\frac{1}{n^2-3n+2}\right)\\&{=\ }2\cdot\sum_{n=3}^{2022}\frac{1}{n^2-3n+2}\\&{=\ }2\cdot\sum_{n=3}^{2022}\frac{1}{(n-1)(n-2)}\\&{=\ }2\cdot\sum_{n=3}^{2022}\frac{(n-1)-(n-2)}{(n-1)(n-2)}\\&{=\ }2\cdot\sum_{n=3}^{2022}\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }2\left[\sum_{n=3}^{2022}\frac{1}{n-2}-\sum_{n=3}^{2022}\frac{1}{n-1}\right]\\&{=\ }2\left[\sum_{n=2}^{2021}\frac{1}{n-1}-\sum_{n=3}^{2022}\frac{1}{n-1}\right]\\&{=\ }2\left[\frac{1}{2-1}+\cancel{\sum_{n=3}^{2021}\frac{1}{n-1}}-\left(\cancel{\sum_{n=3}^{2021}\frac{1}{n-1}}+\frac{1}{2022-1}\right)\right]\\&{=\ }2\left[\frac{1}{1}-\frac{1}{2021}\right]\ =\ 2\left[\frac{2020}{2021}\right]\\&{=\ }\boxed{\,\bf\frac{4040}{2021}\,}\end{aligned}

Kita juga dapat menempuh cara lain.

Setelah memperoleh notasi sigma

\displaystyle 2\left[\sum_{n=3}^{2022}\frac{1}{n-2}-\sum_{n=3}^{2022}\frac{1}{n-1}\right]

kita dapat melanjutkannya dengan mengambil m=n-1\implies n-2=m-1, sehingga

\begin{aligned}&2\left[\sum_{n=3}^{2022}\frac{1}{n-2}-\sum_{n=3}^{2022}\frac{1}{n-1}\right]\\&{=\ }2\left[\sum_{m=3-1}^{2022-1}\frac{1}{m-1}-\sum_{m=3-1}^{2022-1}\frac{1}{m}\right]\\&{=\ }2\left[\sum_{m=2}^{2021}\frac{1}{m-1}-\sum_{m=2}^{2021}\frac{1}{m}\right]\\&{=\ }2\left[\sum_{m=1}^{2020}\frac{1}{m}-\sum_{m=2}^{2021}\frac{1}{m}\right]\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }2\left[\frac{1}{1}+\cancel{\sum_{m=2}^{2020}\frac{1}{m}}-\left(\cancel{\sum_{m=2}^{2020}\frac{1}{m}}+\frac{1}{2021}\right)\right]\\&{=\ }2\left[1-\frac{1}{2021}\right]\ =\ 2\left[\frac{2020}{2021}\right]\\&{=\ }\boxed{\,\bf\frac{4040}{2021}\,}\end{aligned}

Kita juga dapat memilih m=n-2\implies n-1=m+1, sehingga:

\begin{aligned}&2\left[\sum_{n=3}^{2022}\frac{1}{n-2}-\sum_{n=3}^{2022}\frac{1}{n-1}\right]\\&{=\ }2\left[\sum_{m=3-2}^{2022-2}\frac{1}{m}-\sum_{m=3-2}^{2022-2}\frac{1}{m+1}\right]\\&{=\ }2\left[\sum_{m=1}^{2020}\frac{1}{m}-\sum_{m=1}^{2020}\frac{1}{m+1}\right]\\&{=\ }2\left[\sum_{m=1}^{2020}\frac{1}{m}-\sum_{m=2}^{2021}\frac{1}{m}\right]\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }2\left[\frac{1}{1}+\cancel{\sum_{m=2}^{2020}\frac{1}{m}}-\left(\cancel{\sum_{m=2}^{2020}\frac{1}{m}}+\frac{1}{2021}\right)\right]\\&{=\ }2\left[1-\frac{1}{2021}\right]\ =\ 2\left[\frac{2020}{2021}\right]\\&{=\ }\boxed{\,\bf\frac{4040}{2021}\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 18 Mar 23
<< Previous Post
Next Post >>