Penjelasan dengan langkah-langkah:

Dalam masalah ini, kita dapat menggunakan beberapa sifat geometri lingkaran dan segitiga untuk menyelesaikan masalah.

Pertama, karena DE tegak lurus dengan AO, maka OED adalah segitiga siku-siku. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita dapat mengetahui bahwa OE = √(OD² + DE²) = √(5² + 4²) = √41.

Kedua, karena P adalah pusat lingkaran dalam AABC, maka AP adalah jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan sifat jari-jari lingkaran, kita dapat mengetahui bahwa OP = AP = AO/2 = OE + EP = √41 + EP.

Ketiga, karena ABC adalah setengah lingkaran, maka sudut ABC adalah sudut tegak dan sudut AOC adalah 90 derajat.

Keempat, karena OC adalah jari-jari lingkaran, maka OC = AP = √41 + EP.

Kelima, karena OC dan OP adalah jari-jari lingkaran yang berbeda, maka OC dan OP saling memotong di titik X pada garis OE.

Dari sifat-sifat tersebut, kita dapat menghitung panjang EP sebagai berikut:

EP = OP - OE = (√41 + EP) - √41

EP = (√41 - √41) + EP

EP = 0

Artinya, titik P dan E berada pada posisi yang sama.

Karena OEC adalah segitiga siku-siku, maka sudut OEC adalah 90 derajat. Kita dapat menggunakan sifat-sifat segitiga untuk mengetahui bahwa sudut BOC adalah 180 derajat - sudut AOC - sudut BOC = 180 derajat - 90 derajat - sudut BOC = 90 derajat - sudut BOC.

Karena sudut BOC dan sudut OEC adalah sudut-sudut di lingkaran yang meliputi diameter AB, maka sudut BOC dan sudut OEC bersifat supplementer. Artinya, sudut BOC + sudut OEC = 180 derajat.

Dengan menggunakan sifat-sifat sudut di segitiga dan lingkaran, kita dapat menghitung sudut OEC sebagai berikut:

sudut OEC = 90 derajat - sudut AOC = 90 derajat - (180 derajat - sudut BOC)/2 = 90 derajat - (180 derajat - (90 derajat - sudut OEC))/2

2sudut OEC = 360 derajat - 360 derajat/2 + sudut OEC

sudut OEC/2 = 180 derajat - 180 derajat/2

sudut OEC/2 = 90 derajat

sudut OEC = 180 derajat

Artinya, sudut OEC adalah 180 derajat dan OC adalah diameter lingkaran. Oleh karena itu, daerah A OBC adalah setengah dari luas lingkaran dengan jari-jari OC, yaitu:

luas lingkaran = πr² = π(√41 + √41)² = 82π

luas A OBC = 1/2 x 82π = 41π

Jadi, luas daerah A OBC adalah:

Luas daerah A OBC = Luas setengah lingkaran OAB - Luas segitiga AOB - Luas segitiga BOC

Luas setengah lingkaran OAB = 1/2 x π x r² = 1/2 x π x (OA/2)² = 1/2 x π x (10/2)² = 25π/2 cm²

Luas segitiga AOB = 1/2 x AB x OP = 1/2 x 20 x 5 = 50 cm²

Untuk mencari Luas segitiga BOC, pertama-tama kita perlu mencari panjang OC terlebih dahulu. Dalam segitiga OAD, kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang AD:

AD = √(AO² - OD²) = √(10² - 4²) = √84

Maka, panjang OC adalah:

OC = AD - AC = √84 - 5 = √79

Sekarang kita bisa menghitung Luas segitiga BOC:

Luas segitiga BOC = 1/2 x BC x OC = 1/2 x 10 x √79 = 5√79 cm²

Jadi, Luas daerah A OBC = Luas setengah lingkaran OAB - Luas segitiga AOB - Luas segitiga BOC = (25π/2) - 50 - (5√79) cm² = (25π/2) - 50 - (5√79) cm² atau sekitar 12.86 cm² (dalam bentuk desimal).