Untuk menentukan dimana f(x) naik dan turun, kita perlu mendapatkan turunan pertama dari f(x):

f(x) = (1/4)x^4 - (2/3)x^3 + 2x - 1

f'(x) = (1)x^3 - (2)x^2 + 2

Setelah mendapatkan turunan pertama f(x), kita perhatikan bahwa jika f'(x) positif, maka f(x) akan naik pada titik x tersebut. Sebaliknya, jika f'(x) negatif, maka f(x) akan turun pada titik x tersebut.

Mari kita cari akar dari turunan pertama f(x):

f'(x) = x^3 - 2x^2 + 2 = 0

Sebelum menghitung akar persamaan di atas, kita perhatikan bahwa persamaan f'(x) berupa polinom orde tiga sehingga dapat memiliki maksimal tiga akar. Namun, kita tidak perlu mencari ketiga akar tersebut karena kita hanya ingin menentukan daerah mana dimana f(x) naik dan turun.

Kita dapat menggunakan kriteria diskriminan untuk menentukan jumlah akar dari suatu persamaan kuadrat. Kriteria diskriminan untuk persamaan polinom orde tiga adalah sebagai berikut:

D = Q^2 + 4P^3

Dalam hal ini, kita memiliki Persamaan:

Q = -2, P = 1

D = (-2)^2 + 4(1)^3 = 0

Karena diskriminan D = 0, maka persamaan f'(x) hanya memiliki satu akar dengan multipelitas tiga.

Kita dapat menemukan akar persamaan di atas dengan berbagai cara, seperti metode Newton-Raphson atau memfaktorkan persamaan dengan menggunakan pembagian polinomial. Setelah mencari, kita akan mengetahui bahwa titik ini terjadi pada x=1.

Sekarang kita dapat membagi rentang bilangan real menjadi tiga interval: (-∞,1), [1,∞). Kita akan menerapkan aturan kenaikan-turun untuk mencari daerah mana f(x) naik dan turun pada interval ini.

Jika kita memilih uji coba x=0 dan x=2 untuk interval pertama dan kedua, maka kita dapat membandingkan nilai f'(x) di antara interval-nya:

Untuk interval (-∞,1)

Ketika x=0:

f'(0) = (0)^3 - 2(0)^2 + 2 = 2 > 0

Jadi f(x) naik pada interval (-∞,1).

Untuk interval [1,∞)

Ketika x=2:

f'(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 2 = -2 < 0

Jadi f(x) turun pada perluasan interval [1,∞).

Dengan demikian, f(x) naik pada interval (-∞,1) dan turun pada interval [1,∞).