Suatu deret geometri diketahui S3=14 dan S6= 126. Tentukan: a.

Berikut ini adalah pertanyaan dari AhmdFjrin1180 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Suatu deret geometri diketahui S3=14 dan S6= 126. Tentukan: a. Suku pertama dan rasio deret geometri tersebut b. Jumlah sepuluh suku pertama deret geometri tersebut.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Suatu deret geometridiketahuiS₃ = 14danS₆ = 126.
a. Suku pertamadanrasioderet geometri tersebutmemiliki nilai yang sama, yaitu 2.
b. Jumlah sepuluh suku pertamaderet geometri tersebut adalah2046.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Deret Geometri

Pada deret geometri, $S_n$ adalahjumlah n suku pertama, bukan nilai suku ke-n. Nilai suku deret/barisan dinyatakan oleh $U_n$ .

Untuk deret geometri yang diberikan, nilai $S_3$ dan $S_6$ diketahui.

Kita perhatikan bahwa:

$\begin{aligned}S_3&=a+ar+ar^2\\S_6&=S_3+U_4+U_5+U_6\\&=S_3+ar^3+ar^4+ar^5\\&=S_3+\left(a+ar+ar^2\right)r^3\\&=S_3+S_3\cdot r^3\\S_6&=S_3(1+r^3)\\\frac{S_6}{S_3}&=1+r^3\\r&=\sqrt[3]{\frac{S_6}{S_3}-1}\end{aligned}$

Maka, nilai rasio deret geometri tersebut adalah:

$\begin{aligned}r&=\sqrt[3]{\frac{126}{14}-1}\\&=\sqrt[3]{\frac{9\cdot\cancel{14}}{\cancel{14}}-1}\\&=\sqrt[3]{9-1}=\sqrt[3]{8}\\r&=\bf2\end{aligned}$

Untuk suku pertama deret geometri tersebut:

$\begin{aligned}S_3&=a+ar+ar^2\\&=a(1+r+r^2)\\a&=\frac{S_3}{1+r+r^2}\\&=\frac{14}{1+2+4}=\frac{14}{7}\\a&=\bf2\end{aligned}$

Kita periksa terlebih dahulu.
Dengan a = r = 2, deret geometri tersebut adalah:
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ...

S₃ = 2 + 4 + 8 = 14
⇒ Benar.
S₆ = 14 + 16 + 32 + 64 = 30 + 96 = 126
⇒ Benar.

Kemudian, jumlah sepuluh suku pertama deret geometri tersebut adalah:

$\begin{aligned}S_{n}&=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\ \because\ r > 1\\S_{10}&=\frac{2\left(2^{10}-1\right)}{2-1}\\&=2\left(2^{10}-1\right)\\&=2\left(1024-1\right)\\&=2\left(1023\right)\\S_{10}&=\bf2046\end{aligned}$