Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan beda atau selisih antara dua suku berurutan selalu tetap atau konstan.

Bentuk umum barisan aritmetika adalah

U₁, U₂, U₃, ..., Un atau a, a + b, a + 2b, ..., a + (n - 1)b

Suku ke-n dari barisan aritmetika, yaitu :

Un = a + (n - 1)b.

Beda atau selisih antara dua suku berurutan, yaitu :

b = Un - U(n - 1).

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Dari informasi yang diberikan, kita tahu bahwa barisan aritmetika ini memiliki suku pertama a₁ yang habis dibagi 3, suku kedua a₂ yang habis dibagi 5, dan suku ketiga a₃ yang habis dibagi 7. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan barisan ini sebagai:

• a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d, ...

dengan d adalah selisih antar suku.

Kita juga tahu bahwa a₁ + a₂ + a₃ = 405 dan a₁ > 105. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan:

• a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) = 405
• 3a₁ + 3d = 405
• a₁ + d = 135

Diketahui a₁ adalah bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan lebih besar dari 105, sehingga a₁ harus sama dengan 108 atau 111. Kita akan memeriksa kedua kemungkinan ini secara terpisah.

Jika a₁ = 108, maka a₂ = a₁ + d harus sama dengan 113, yang berarti d = 5. Kita juga dapat menghitung a₃ sebagai a₁ + 2d = 118. Selanjutnya, kita dapat menghitung suku ke-k sebagai:

• a_k = a₁ + (k-1)d = 108 + (k-1)5 = 103 + 5k

Kita ingin mencari nilai k terkecil sehingga a_k > 1000. Oleh karena itu, kita dapat menyelesaikan:

• 103 + 5k > 1000
• 5k > 897
• k > 179.4

k harus merupakan bilangan bulat, sehingga kita harus membulatkan k ke atas menjadi 180. Oleh karena itu, nilai k terkecil sedemikian sehingga a_k > 1000 adalah k = 180.

Kita sekarang akan memeriksa apakah a₁ = 111 memungkinkan untuk memenuhi syarat a₁ + a₂ + a₃ = 405. Dalam hal ini, a₂ = a₁ + d = 116 dan a₃ = a₁ + 2d = 121. Kita dapat menghitung suku ke-k sebagai:

• a_k = a₁ + (k-1)d = 111 + (k-1)5 = 106 + 5k

Kita ingin mencari nilai k terkecil sedemikian sehingga a_k > 1000. Oleh karena itu, kita dapat menyelesaikan:

• 106 + 5k > 1000
• 5k > 894
• k > 178.8

k harus merupakan bilangan bulat, sehingga kita harus membulatkan k ke atas menjadi 179. Oleh karena itu, nilai k terkecil sedemikian sehingga a_k > 1000 adalah k = 179.

Dari kedua kasus di atas, kita dapat melihat bahwa nilai k terkecil yang memenuhi syarat adalah k = 180. Oleh karena itu, jawaban dari soal ini adalah 180.

Pelajari Lebih lanjut

Pelajari Lebih lanjut tentang Banyaknya suku barisan aritmatika yomemimo.com/tugas/6986

#BelajarBersamaBrainly#SPJ1