Untuk menghitung luas segitiga ABC, kita dapat menggunakan rumus luas segitiga dengan vektor. Pertama, kita perlu menghitung dua vektor yang membentuk segitiga ABC, yaitu vektor AB dan vektor AC.

Vektor AB = B - A = (4, 4, 4) - (1, 1, 1) = (3, 3, 3)

Vektor AC = C - A = (2, 3, 4) - (1, 1, 1) = (1, 2, 3)

Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus luas segitiga dengan vektor:

Luas segitiga ABC = 1/2 * ||AB × AC||

Di mana × melambangkan operasi cross product (produk vektor) dan || || melambangkan magnitude (besarnya) dari vektor.

AB × AC = (3, 3, 3) × (1, 2, 3)

= ((3 * 3) - (3 * 2), (3 * 1) - (3 * 3), (3 * 2) - (3 * 1))

= (3, -6, 3)

Magnitude dari AB × AC = √(3² + (-6)² + 3²)

= √(9 + 36 + 9)

= √54

= 3√6

Luas segitiga ABC = 1/2 * 3√6

= (3/2)√6

Jadi, luas segitiga ABC adalah (3/2)√6 satuan luas.