1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

1. Keliling sebuah persegi panjang adalah 100cm. Tentukan ukuran persegi

Berikut ini adalah pertanyaan dari Alvin0145 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

1. Keliling sebuah persegi panjang adalah 100cm. Tentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum!~
~
2. Sebuah model roket diluncurkan dari atap suatu bangunan dengan tinggi roket setelah t detik dinyatakan dengan rumus ℎ (t) = − 5t² + 30t + 10.
~
Tentukan :
a) waktu ketika roket mencapai tinggi
maksimum
b) tinggi maksimum yang dicapai roket
~
~
Note : Beserta caranya, Terimakasih!​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

  1. Keliling sebuah persegi panjang adalah 100cm. Ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum adalah:
    25 cm × 25 cm (panjang = lebar = 25 cm).
  2. Sebuah model roket diluncurkan dari atap suatu bangunan dengan tinggi roket setelah tdetik dinyatakan dengan rumush(t) = -5t^2 + 30t + 10.
    a) Waktu ketika roket mencapai tinggi maksimum adalah 3 detik.
    b) Tinggi maksimum yang dicapai roket adalah 55 satuan panjangatau55 satuan tinggi (tidak disebutkan satuannya pada pertanyaan).

 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Nomor 1

Untuk menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum dari keliling yang diketahui, terdapat beberapa cara.

Cara Pertama: Dengan Pemahaman Bangun Datar

Luas sebuah persegi panjang mencapai maksimum jika panjang dan lebar persegi panjang tersebut bernilai sama, atau dengan kata lain, persegi panjang tersebut adalah sebuah persegi.

Berdasarkan definisinya, semua persegi adalah persegi panjang, namun tidak semua persegi panjang adalah persegi. Dapat dikatakan bahwa persegi adalah persegi panjang yang khusus/spesial, yang memiliki nilai panjang dan lebar yang persis sama.

Oleh karena itu:

\begin{aligned}&K = 2(p+l)=100\\&\Rightarrow p+l=50\\&\qquad(p=l)\\&\Rightarrow 2p=2l=50\\&\Rightarrow p=l=\boxed{\bf25\ cm}\end{aligned}

Cara Kedua: Dengan Turunan Pertama

\begin{aligned}&K = 2(p+l)=100\\&\Rightarrow p+l=50\\&\Rightarrow l=50-p\\&L=pl=p(50-p)\\&\Rightarrow L=f(p)=50p-p^2\\\end{aligned}

Agar luas persegi panjang, yang dinyatakan dengan f(p), mencapai nilai maksimum, f(p) harus mencapai titik kritisnya.

  • Karena f(p) adalah fungsi kuadrat, maka titik kritisnya adalah titik stasioner.
  • Karena koefisien p^2adalah-1, maka benar bahwa titik stasionernya adalah titik di mana f(p) maksimum, karena kurva f(p) menghadap ke bawah.

Titik stasioner dari sebuah fungsi dicapai ketika gradien garis singgung (garis tangen) pada titik tersebut sama dengan 0. Artinya: f'(p) = 0.

\begin{aligned}0&=f'(p)\\&=\frac{d}{dp}\left(50p-p^2\right)\\0&=50-2p\\2p&=50\\\therefore\ p&=\boxed{\bf25\ cm}\\\therefore\ l&=50-25=\boxed{\bf25\ cm}\end{aligned}

Cara Ketiga: Dengan Rumus Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Dari cara kedua di atas, kita telah memperoleh:

L=f(p)=50p-p^2

Titik puncak fungsi kuadrat memiliki absis = sumbu simetri, yaitu:

\begin{aligned}x_{\sf simetri}=x_{\sf puncak}=\frac{-b}{2a}\end{aligned}

Dari f(p)=50p-p^2 ⇒ a = -1,\ b = 50

Maka:

\begin{aligned}p_{\sf puncak}&=\frac{-50}{-2}=\bf25\end{aligned}

Karena p+l=50, maka l=\bf25.

Sehingga diperoleh:

p=l=\boxed{\bf25\ cm}

Cara Keempat: Dengan Ketaksamaan AM-GM

AM = Arithmetic Mean (Rataan Aritmetik), dan GM = Geometric Mean (Rataan Geometrik).

Ketaksamaan AM-GM dinyatakan oleh:

\begin{aligned}AM\ & \ge \ GM\\\sum_{i=1}^{n}x_i\ & \ge \ \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}\\\frac{x_1+x_2+{\dots}+x_n}{n}\ & \ge \ \sqrt[n]{x_1x_2\,{\dots}\,x_n}\\\end{aligned}

Dari keliling persegi panjang, diperoleh p+l=50 \implies p=50-l.

Maka, berdasarkan ketaksamaan AM-GM:

\begin{aligned}\frac{p+l}{2}\ & \ge \ \sqrt{pl}\\\frac{p+50-p}{2}\ & \ge \ \sqrt{pl}\\\frac{50}{2}\ & \ge \ \sqrt{pl}\\25\ & \ge \ \sqrt{pl}\\625\ & \ge \ pl\\\end{aligned}

Agar L=pl bernilai maksimum, nilai pl harus mencapai 625, sehingga:

\begin{aligned}&pl=p(50-p)=625\\&\Rightarrow 50p-p^2=625\\&\Rightarrow p^2-50p=-625\\&\Rightarrow p^2-50p+625=0\\&\Rightarrow (p-25)^2=0\\&\Rightarrow p=25\ \Rightarrow\ l=50-25=25\\ &\therefore\ p=l=\boxed{\bf25\ cm}\end{aligned}

KESIMPULAN
∴ Dengan demikian, agar luasnya maksimum, persegi panjang tersebut berukuran 25 cm × 25 cm (panjang = lebar = 25 cm).
\blacksquare

Nomor 2

Fungsi tinggi roket setelah t detik dinyatakan oleh:

h(t) = -5t^2 + 30t + 10
⇒ a = -5,\ b=30,\ c=10

Untuk menentukan waktu ketika roket mencapai tinggi maksimum, dan tinggi maksimumnya, kita bisa menggunakan beberapa cara, antara lain:

  • dengan menentukan titik puncak h(t), atau
  • dengan turunan pertama.

Kita gunakan cara pertama saja agar dapat memperoleh dua nilai sekaligus.

\begin{aligned}&\left(t_{\sf max},\ h(t_{\sf max})\right)\\&=\left(\frac{-b}{2a},\ \frac{-\left(b^2-4ac\right)}{4a}\right)\\&=\left(\frac{-30}{-10},\ \frac{-\left[30^2-4(-5)(10)\right]}{-20}\right)\\&=\left(3,\ \frac{-\left(900+200\right)}{-20}\right)\\&=\left(3,\ \frac{1100}{20}\right)\\&=\bf\left(3,\ 55\right)\\\end{aligned}

KESIMPULAN
a) Waktu ketika roket mencapai tinggi maksimum adalah 3 detik.
b) Tinggi maksimum yang dicapai roket adalah 55 satuan panjangatau55 satuan tinggi (tidak disebutkan satuannya pada pertanyaan).
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 15 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>