Jawab:

Untuk menemukan persamaan kuadrat baru dengan akar-akar yang dinyatakan dalam suatu fungsi dari akar-akar persamaan kuadrat awal, kita dapat menggunakan hubungan antara akar-akar dan koefisien dalam persamaan kuadrat.

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat awal x² - 3x + 7 = 0 adalah α dan β.

Hubungan antara akar-akar dan koefisien dalam persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Jumlah akar-akar (α + β) = -b/a, di mana a adalah koefisien x² dan b adalah koefisien x.

2. Perkalian akar-akar (α * β) = c/a, di mana c adalah koefisien konstanta.

Dalam persamaan kuadrat awal x² - 3x + 7 = 0, koefisien x² adalah 1, koefisien x adalah -3, dan koefisien konstanta adalah 7.

1. Jumlah akar-akar (α + β) = -(-3)/1 = 3.

2. Perkalian akar-akar (α * β) = 7/1 = 7.

Untuk mencari persamaan kuadrat baru dengan akar-akarnya 2α dan 2β, kita dapat menggunakan hubungan antara akar-akar dan koefisien dalam persamaan kuadrat baru.

Hubungan antara akar-akar dan koefisien dalam persamaan kuadrat baru adalah sebagai berikut:

1. Jumlah akar-akar (2α + 2β) = -b'/a', di mana a' adalah koefisien x² dan b' adalah koefisien x.

2. Perkalian akar-akar (2α * 2β) = c'/a', di mana c' adalah koefisien konstanta.

Karena akar-akar baru adalah 2α dan 2β, maka kita dapat menuliskan hubungan sebagai berikut:

1. Jumlah akar-akar (2α + 2β) = -b'/a'

2. Perkalian akar-akar (2α * 2β) = c'/a'

Karena kita ingin mencari persamaan kuadrat baru, kita asumsikan persamaan kuadrat baru sebagai x² + bx + c = 0.

1. Jumlah akar-akar (2α + 2β) = -b/a

2. Perkalian akar-akar (2α * 2β) = c/a

Kita dapat menggantikan nilai akar-akar baru (2α dan 2β) dan nilai akar-akar awal (α dan β) ke dalam persamaan di atas:

1. (2α + 2β) = -b/1

2. (2α * 2β) = c/1

Sekarang, kita bisa menyelesaikan persamaan di atas:

1. 2(α + β) = -b

2. 4(α * β) = c

Dalam persamaan kuadrat baru x² + bx + c = 0 dengan akar-akar baru 2α dan 2β, kita memiliki:

1. Jumlah akar-akar (2α + 2β) = -b

  Menggantikan nilai dari persamaan sebelumnya: 2(α + β) = -b

  Jadi, b = -2(α + β)

2. Perkalian akar-akar (2α * 2β) = c

  Menggantikan nilai dari persamaan sebelumnya: 4(α * β) = c

  Jadi, c = 4(α * β)

Jadi, persamaan kuadrat baru dengan akar-akar 2α dan 2β adalah x² - 2(α + β)x + 4(α * β) = 0.