1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

L1:x²+y²+6x-4y-23=0 L2: x²+ y²-12x+20y+55=0 buktikan jika lingkaran saling bersinggungan luar

Berikut ini adalah pertanyaan dari Ghina12911 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

L1:x²+y²+6x-4y-23=0L2: x²+ y²-12x+20y+55=0
buktikan jika lingkaran saling bersinggungan luar

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Lingkaran dengan persamaan umum x² + y² + 6x - 4y - 23 = 0 terbukti bersinggungan luar dengan lingkaran dengan persamaan umum x² + y² - 12x + 20y + 55 = 0. Hal ini karena nilai PQ dan hasil penjumlahan jari-jari kedua lingkaran menghasilkan nilai yang sama. Untuk ilustrasi ada pada lampiran jawaban.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Persamaan umum lingkaran adalah x² + y² + Ax + By + C = 0 di mana titik pusat ada di P (- A : 2, - B : 2). Untuk menentukan jari-jari lingkaran tersebut (R) maka dapat digunakan rumus berikut:

\sf R=\sqrt{\dfrac{A^2}{4}+\dfrac{B^2}{4}-C}

Diketahui:

  • Lingkaran pertama (L₁):
    x² + y² + 6x - 4y - 23 = 0
    A₁ = 6.
    B₁ = -4.
    C₁ = -23.
  • Lingkaran kedua (L₂):
    x² + y² - 12x + 20y + 55 = 0
    A₂ = -12.
    B₂ = 20.
    C₂ = 55.

Ditanyakan:

  • Buktikan bahwa L1 dan L2 bersinggungan luar =?
    Syarat yang harus dipenuhi (cek gambar lampiran):
    R₁ + R₂ = PQ

Penyelesaian:

\boxed{\begin{array}{ll} \sf PQ =\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\end{array}}

  • Nilai x = absis di titik pusat P.
  • Nilai y = ordinat di titik pusat P.

Langkah 1
Perhitungan jari-jari lingkaran 1 dan 2.

\begin{array}{ll} \sf R_1&\sf =\sqrt{\dfrac{A_1^2}{4}+\dfrac{B_1^2}{4}-C_1}\\\\&\sf = \sqrt{\dfrac{6^2}{4}+\dfrac{(-4)^2}{4}-(-23)}\\\\&\sf =\sqrt{9+4+23}\\\\&\sf =\sqrt{36}\\\\&\sf = 6.\end{array}

\begin{array}{ll} \sf R_2&\sf =\sqrt{\dfrac{A_2^2}{4}+\dfrac{B_2^2}{4}-C_2}\\\\&\sf = \sqrt{\dfrac{(-12)^2}{4}+\dfrac{(20)^2}{4}-55}\\\\&\sf =\sqrt{36+100+55}\\\\&\sf = \sqrt{81}\\\\&\sf =9.\end{array}

Maka:

  • R₁ + R₂ = 6 + 9 = 15.

Langkah 2
Penentuan titik pusat L₁ dan L₂.

\begin{array}{ll} \sf P_1 &\sf = \left(- \dfrac{A_1}{2},-\dfrac{B_1}{2}\right)\\\\&\sf = \left(- \dfrac{6}{2},-\dfrac{-4}{2}\right)\\\\&\sf =\left(- 3,2\right)\end{array}

Maka:

  • x₁ = -3.
  • y₁ = 2.

\begin{array}{ll} \sf P_2 &\sf = \left(- \dfrac{A_2}{2},-\dfrac{B_2}{2}\right)\\\\&\sf = \left(- \dfrac{-12}{2},-\dfrac{20}{2}\right)\\\\&\sf =\left(6,-10\right)\end{array}

Maka:

  • x₂ = 6.
  • y₂ = -10.

Langkah 2
Pembuktian apakah kedua lingkaran saling bersinggungan luar.

Nilai PQ:

\begin{array}{ll} \sf PQ&\sf = \sqrt{(-3-6)^2+(2-(-10))^2}\\\\&\sf = \sqrt{(-9)^2+(12)^2}\\\\&\sf = \sqrt{81+144}\\\\&\sf =15.\end{array}

TERBUKTI:

  • PQ = R₁ + R₂
    Yaitu sama-sama bernilai 15 satuan.

Pelajari lebih lanjut

Materi tentang pembuatan persamaan lingkaran dengan diketahui titik pusat dan garis singgung pada yomemimo.com/tugas/53001287

#SolusiBrainlyCommunity

Lingkaran dengan persamaan umum x² + y² + 6x - 4y - 23 = 0 terbukti bersinggungan luar dengan lingkaran dengan persamaan umum x² + y² - 12x + 20y + 55 = 0. Hal ini karena nilai PQ dan hasil penjumlahan jari-jari kedua lingkaran menghasilkan nilai yang sama. Untuk ilustrasi ada pada lampiran jawaban.Penjelasan dengan langkah-langkahPersamaan umum lingkaran adalah x² + y² + Ax + By + C = 0 di mana titik pusat ada di P (- A : 2, - B : 2). Untuk menentukan jari-jari lingkaran tersebut (R) maka dapat digunakan rumus berikut:[tex]\sf R=\sqrt{\dfrac{A^2}{4}+\dfrac{B^2}{4}-C}[/tex]Diketahui:Lingkaran pertama (L₁):x² + y² + 6x - 4y - 23 = 0A₁ = 6.B₁ = -4.C₁ = -23.Lingkaran kedua (L₂): x² + y² - 12x + 20y + 55 = 0A₂ = -12.B₂ = 20.C₂ = 55.Ditanyakan:Buktikan bahwa L1 dan L2 bersinggungan luar =?Syarat yang harus dipenuhi (cek gambar lampiran):R₁ + R₂ = PQPenyelesaian:[tex]\boxed{\begin{array}{ll} \sf PQ =\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\end{array}}[/tex]Nilai x = absis di titik pusat P.Nilai y = ordinat di titik pusat P.Langkah 1Perhitungan jari-jari lingkaran 1 dan 2.[tex]\begin{array}{ll} \sf R_1&\sf =\sqrt{\dfrac{A_1^2}{4}+\dfrac{B_1^2}{4}-C_1}\\\\&\sf = \sqrt{\dfrac{6^2}{4}+\dfrac{(-4)^2}{4}-(-23)}\\\\&\sf =\sqrt{9+4+23}\\\\&\sf =\sqrt{36}\\\\&\sf = 6.\end{array}[/tex][tex]\begin{array}{ll} \sf R_2&\sf =\sqrt{\dfrac{A_2^2}{4}+\dfrac{B_2^2}{4}-C_2}\\\\&\sf = \sqrt{\dfrac{(-12)^2}{4}+\dfrac{(20)^2}{4}-55}\\\\&\sf =\sqrt{36+100+55}\\\\&\sf = \sqrt{81}\\\\&\sf =9.\end{array}[/tex]Maka:R₁ + R₂ = 6 + 9 = 15.Langkah 2Penentuan titik pusat L₁ dan L₂.[tex]\begin{array}{ll} \sf P_1 &\sf = \left(- \dfrac{A_1}{2},-\dfrac{B_1}{2}\right)\\\\&\sf = \left(- \dfrac{6}{2},-\dfrac{-4}{2}\right)\\\\&\sf =\left(- 3,2\right)\end{array}[/tex]Maka:x₁ = -3.y₁ = 2.[tex]\begin{array}{ll} \sf P_2 &\sf = \left(- \dfrac{A_2}{2},-\dfrac{B_2}{2}\right)\\\\&\sf = \left(- \dfrac{-12}{2},-\dfrac{20}{2}\right)\\\\&\sf =\left(6,-10\right)\end{array}[/tex]Maka:x₂ = 6.y₂ = -10.Langkah 2Pembuktian apakah kedua lingkaran saling bersinggungan luar.Nilai PQ:[tex]\begin{array}{ll} \sf PQ&\sf = \sqrt{(-3-6)^2+(2-(-10))^2}\\\\&\sf = \sqrt{(-9)^2+(12)^2}\\\\&\sf = \sqrt{81+144}\\\\&\sf =15.\end{array}[/tex]TERBUKTI:PQ = R₁ + R₂Yaitu sama-sama bernilai 15 satuan.Pelajari lebih lanjutMateri tentang pembuatan persamaan lingkaran dengan diketahui titik pusat dan garis singgung pada https://brainly.co.id/tugas/53001287#SolusiBrainlyCommunityLingkaran dengan persamaan umum x² + y² + 6x - 4y - 23 = 0 terbukti bersinggungan luar dengan lingkaran dengan persamaan umum x² + y² - 12x + 20y + 55 = 0. Hal ini karena nilai PQ dan hasil penjumlahan jari-jari kedua lingkaran menghasilkan nilai yang sama. Untuk ilustrasi ada pada lampiran jawaban.Penjelasan dengan langkah-langkahPersamaan umum lingkaran adalah x² + y² + Ax + By + C = 0 di mana titik pusat ada di P (- A : 2, - B : 2). Untuk menentukan jari-jari lingkaran tersebut (R) maka dapat digunakan rumus berikut:[tex]\sf R=\sqrt{\dfrac{A^2}{4}+\dfrac{B^2}{4}-C}[/tex]Diketahui:Lingkaran pertama (L₁):x² + y² + 6x - 4y - 23 = 0A₁ = 6.B₁ = -4.C₁ = -23.Lingkaran kedua (L₂): x² + y² - 12x + 20y + 55 = 0A₂ = -12.B₂ = 20.C₂ = 55.Ditanyakan:Buktikan bahwa L1 dan L2 bersinggungan luar =?Syarat yang harus dipenuhi (cek gambar lampiran):R₁ + R₂ = PQPenyelesaian:[tex]\boxed{\begin{array}{ll} \sf PQ =\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\end{array}}[/tex]Nilai x = absis di titik pusat P.Nilai y = ordinat di titik pusat P.Langkah 1Perhitungan jari-jari lingkaran 1 dan 2.[tex]\begin{array}{ll} \sf R_1&\sf =\sqrt{\dfrac{A_1^2}{4}+\dfrac{B_1^2}{4}-C_1}\\\\&\sf = \sqrt{\dfrac{6^2}{4}+\dfrac{(-4)^2}{4}-(-23)}\\\\&\sf =\sqrt{9+4+23}\\\\&\sf =\sqrt{36}\\\\&\sf = 6.\end{array}[/tex][tex]\begin{array}{ll} \sf R_2&\sf =\sqrt{\dfrac{A_2^2}{4}+\dfrac{B_2^2}{4}-C_2}\\\\&\sf = \sqrt{\dfrac{(-12)^2}{4}+\dfrac{(20)^2}{4}-55}\\\\&\sf =\sqrt{36+100+55}\\\\&\sf = \sqrt{81}\\\\&\sf =9.\end{array}[/tex]Maka:R₁ + R₂ = 6 + 9 = 15.Langkah 2Penentuan titik pusat L₁ dan L₂.[tex]\begin{array}{ll} \sf P_1 &\sf = \left(- \dfrac{A_1}{2},-\dfrac{B_1}{2}\right)\\\\&\sf = \left(- \dfrac{6}{2},-\dfrac{-4}{2}\right)\\\\&\sf =\left(- 3,2\right)\end{array}[/tex]Maka:x₁ = -3.y₁ = 2.[tex]\begin{array}{ll} \sf P_2 &\sf = \left(- \dfrac{A_2}{2},-\dfrac{B_2}{2}\right)\\\\&\sf = \left(- \dfrac{-12}{2},-\dfrac{20}{2}\right)\\\\&\sf =\left(6,-10\right)\end{array}[/tex]Maka:x₂ = 6.y₂ = -10.Langkah 2Pembuktian apakah kedua lingkaran saling bersinggungan luar.Nilai PQ:[tex]\begin{array}{ll} \sf PQ&\sf = \sqrt{(-3-6)^2+(2-(-10))^2}\\\\&\sf = \sqrt{(-9)^2+(12)^2}\\\\&\sf = \sqrt{81+144}\\\\&\sf =15.\end{array}[/tex]TERBUKTI:PQ = R₁ + R₂Yaitu sama-sama bernilai 15 satuan.Pelajari lebih lanjutMateri tentang pembuatan persamaan lingkaran dengan diketahui titik pusat dan garis singgung pada https://brainly.co.id/tugas/53001287#SolusiBrainlyCommunityLingkaran dengan persamaan umum x² + y² + 6x - 4y - 23 = 0 terbukti bersinggungan luar dengan lingkaran dengan persamaan umum x² + y² - 12x + 20y + 55 = 0. Hal ini karena nilai PQ dan hasil penjumlahan jari-jari kedua lingkaran menghasilkan nilai yang sama. Untuk ilustrasi ada pada lampiran jawaban.Penjelasan dengan langkah-langkahPersamaan umum lingkaran adalah x² + y² + Ax + By + C = 0 di mana titik pusat ada di P (- A : 2, - B : 2). Untuk menentukan jari-jari lingkaran tersebut (R) maka dapat digunakan rumus berikut:[tex]\sf R=\sqrt{\dfrac{A^2}{4}+\dfrac{B^2}{4}-C}[/tex]Diketahui:Lingkaran pertama (L₁):x² + y² + 6x - 4y - 23 = 0A₁ = 6.B₁ = -4.C₁ = -23.Lingkaran kedua (L₂): x² + y² - 12x + 20y + 55 = 0A₂ = -12.B₂ = 20.C₂ = 55.Ditanyakan:Buktikan bahwa L1 dan L2 bersinggungan luar =?Syarat yang harus dipenuhi (cek gambar lampiran):R₁ + R₂ = PQPenyelesaian:[tex]\boxed{\begin{array}{ll} \sf PQ =\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\end{array}}[/tex]Nilai x = absis di titik pusat P.Nilai y = ordinat di titik pusat P.Langkah 1Perhitungan jari-jari lingkaran 1 dan 2.[tex]\begin{array}{ll} \sf R_1&\sf =\sqrt{\dfrac{A_1^2}{4}+\dfrac{B_1^2}{4}-C_1}\\\\&\sf = \sqrt{\dfrac{6^2}{4}+\dfrac{(-4)^2}{4}-(-23)}\\\\&\sf =\sqrt{9+4+23}\\\\&\sf =\sqrt{36}\\\\&\sf = 6.\end{array}[/tex][tex]\begin{array}{ll} \sf R_2&\sf =\sqrt{\dfrac{A_2^2}{4}+\dfrac{B_2^2}{4}-C_2}\\\\&\sf = \sqrt{\dfrac{(-12)^2}{4}+\dfrac{(20)^2}{4}-55}\\\\&\sf =\sqrt{36+100+55}\\\\&\sf = \sqrt{81}\\\\&\sf =9.\end{array}[/tex]Maka:R₁ + R₂ = 6 + 9 = 15.Langkah 2Penentuan titik pusat L₁ dan L₂.[tex]\begin{array}{ll} \sf P_1 &\sf = \left(- \dfrac{A_1}{2},-\dfrac{B_1}{2}\right)\\\\&\sf = \left(- \dfrac{6}{2},-\dfrac{-4}{2}\right)\\\\&\sf =\left(- 3,2\right)\end{array}[/tex]Maka:x₁ = -3.y₁ = 2.[tex]\begin{array}{ll} \sf P_2 &\sf = \left(- \dfrac{A_2}{2},-\dfrac{B_2}{2}\right)\\\\&\sf = \left(- \dfrac{-12}{2},-\dfrac{20}{2}\right)\\\\&\sf =\left(6,-10\right)\end{array}[/tex]Maka:x₂ = 6.y₂ = -10.Langkah 2Pembuktian apakah kedua lingkaran saling bersinggungan luar.Nilai PQ:[tex]\begin{array}{ll} \sf PQ&\sf = \sqrt{(-3-6)^2+(2-(-10))^2}\\\\&\sf = \sqrt{(-9)^2+(12)^2}\\\\&\sf = \sqrt{81+144}\\\\&\sf =15.\end{array}[/tex]TERBUKTI:PQ = R₁ + R₂Yaitu sama-sama bernilai 15 satuan.Pelajari lebih lanjutMateri tentang pembuatan persamaan lingkaran dengan diketahui titik pusat dan garis singgung pada https://brainly.co.id/tugas/53001287#SolusiBrainlyCommunity

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh RoyAlChemi dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 16 Jul 23
<< Previous Post
Next Post >>