Tentukan nilai ektrim dari Z=X²+Y² dengan syarat kendala X+Y=8 Kerjakan

Berikut ini adalah pertanyaan dari nidanayla1304 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Tentukan nilai ektrim dari Z=X²+Y² dengan syarat kendala X+Y=8 Kerjakan dengan Lagrange!

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai ekstrim dari $z=x^2+y^2$ dengan syarat kendala $x+y=8$ adalah32.

PEMBAHASAN

Untuk mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi $f(x,y)$ dengan kendala $g(x,y)=0$ dapat menggunakan metode Lagrange. Dimana :

$\bigtriangledown f(x,y)=\lambda\bigtriangledown g(x,y)~~~~~~~~dan~g(x,y)=0\\\\dengan~:\\\\\bigtriangledown f(x,y)=turunan~berarah~fungsi~f(x,y)\\\\\bigtriangledown g(x,y)=turunan~berarah~fungsi~g(x,y)\\\\\lambda=faktor~pengali~lagrange\\$

DIKETAHUI

$Fungsi~z=x^2+y^2$

DITANYA

Tentukan nilai ekstrim dari fungsi z dengan syarat kendala $x+y=8$

PENYELESAIAN

$f(x,y)=z=x^2+y^2\\\\\bigtriangledown f(x,y)=(2x)\vec{i}+(2y)\vec{j}\\\\\\fungsi~kendala:~\\\\x+y=8\\\\x+y-8=0\\\\maka\\\\g(x,y)=x+y-8\\\\\bigtriangledown g(x,y)=\vec{i}+\vec{j}\\$

Kita selesaikan dengan metode Lagrange.

$\bigtriangledown f(x,y)=\lambda\bigtriangledown g(x,y)\\\\(2x)\vec{i}+(2y)\vec{j}=\lambda(\vec{i}+\vec{j})\\\\(2x)\vec{i}+(2y)\vec{j}=\lambda\vec{i}+\lambda\vec{j}\\$

Dengan menyamakan kedua ruas kita peroleh persamaan persamaan Langrangenya adalah :

$2x=\lambda\\\\x=\frac{\lambda}{2}~~~~~~~~~~~...(i)\\\\\\2y=\lambda\\\\y=\frac{\lambda}{2}~~~~~~~~~~~...(ii)\\\\\\x+y=8~~~~~~~~~~~...substitusi~pers.(i)~dan~(ii)\\\\\frac{\lambda}{2}+\frac{\lambda}{2}=8\\\\\lambda=8\\$