Asupan Qwiz. [ ... ] req dri => elga...... ......-

Berikut ini adalah pertanyaan dari mazayakeysa81 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Asupan Qwiz. [ ... ] req dri => elga.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
=> Langkah langkah penyelesaian [✔]
=> Jangan asal [ X ]
=> Jangan copas [ X ]

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

$\large\text{$\begin{aligned}&\frac{3x^3+10x^2+27x+27}{x^2(x+3)^2}\\&\bf=\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x+3}-\frac{5}{(x+3)^2}\end{aligned}$}$

Pembahasan

Dekomposisi menjadi Pecahan Parsial

$\large\text{$\begin{aligned}&\frac{3x^3+10x^2+27x+27}{x^2(x+3)^2}\\\\{=\ }&\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x^2}+\frac{B_1}{x+3}+\frac{B_2}{(x+3)^2}\\\\{=\ }&\frac{A_1x(x+3)^2+A_2(x+3)^2+B_1x^2(x+3)+B_2x^2}{x^2(x+3)^2}\\\end{aligned}$}$

Kesamaan pada pembilang memberikan

$\large\text{$\begin{aligned}&3x^3+10x^2+27x+27\\&{=\ }A_1x(x+3)^2+A_2(x+3)^2\\&{\quad+\:}B_1x^2(x+3)+B_2x^2\qquad....(i)\end{aligned}$}$

Cara Pertama:

Mencari akar-akar penyebut, substitusi, lalu selesaikan sistem persamaan koefisien yang belum diketahui.

$\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Penyebut: }x^2(x+3)^2\\&{\implies}\textsf{Akar-akarnya: $0$ dan $-3$}\\&\left\{\begin{array}{rl}x=0\\{\implies}&3(0^3)+10(0^2)+27(0)+27\\&=A_1(0)(0+3)^2+A_2(0+3)^2\\&\quad+\:B_1(0^2)(x+3)+B_2(0^2)\\{\iff}&27=9A_2\\{\iff}&A_2=\bf3\\\\x=-3\\{\implies}&3((-3)^3)+10((-3)^2)+27(-3)+27\\&=A_1(-3)(-3+3)^2+A_2(-3+3)^2\\&\quad+\:B_1((-3)^2)(-3+3)+B_2((-3)^2)\\{\iff}&-81+90-81+27=9B_2\\{\iff}&-45=9B_2\\{\iff}&B_2=\bf-5\end{array}\right.\end{aligned}$}$

Substitusi A₂ dan B₂ ke dalam persamaan (i)

$\large\text{$\begin{aligned}&3x^3+10x^2+27x+27\\&{=\ }A_1x(x+3)^2+3(x+3)^2\\&{\quad+\:}B_1x^2(x+3)-5x^2\\\\&{=\ }A_1x^3+6A_1x^2+9A_1x\\&{\quad+\:}3x^2+18x+27\\&{\quad+\:}B_1x^3+3B_1x^2-5x^2\\\\&{=\ }(A_1+B_1)x^3\\&{\quad+\:}(6A_1+3+3B_1-5)x^2\\&{\quad+\:}(9A_1+18)x+27\\\\&{=\ }(A_1+B_1)x^3\\&{\quad+\:}(6A_1+3B_1-2)x^2\\&{\quad+\:}(9A_1+18)x+27\\\\\end{aligned}$}$

Selanjutnya, menyelesaikan sistem persamaan linier dengan memperhatikan kesamaan koefisien-koefisien yang bersesuaian antara ruas kiri dan kanan.

$\large\text{$\begin{aligned}&{\begin{cases}\textsf{(i) Koef. $x^3:$}&A_1+B_1=3\\\textsf{(ii) Koef. $x^2:$}&6A_1+3B_1-2=10\\\textsf{(iii) Koef. $x:$}&9A_1+18=27\end{cases}}\\\\&(iii)\implies9A_1=9\iff A_1=\bf1\\&(i)\implies B_1=3-1\iff B_1=\bf2\\&(ii)\implies6+6-2=10\quad\sf(benar)\\\\&{\therefore\ }A_1=\bold{1}\,,\ A_2=\bold{3}\,,\ B_1=\bold{2}\,,\ B_2=\bf-5\end{aligned}$}$

Dengan demikian, dekomposisi pecahan parsialnya adalah:

$\large\text{$\begin{aligned}&\boxed{\ \bf\frac{3x^3+10x^2+27x+27}{x^2(x+3)^2}=\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x+3}-\frac{5}{(x+3)^2}\ }\end{aligned}$}$

Cara Kedua:

Menjabarkan secara langsung sejak awal

$\large\text{$\begin{aligned}&3x^3+10x^2+27x+27\\&{=\ }A_1x(x+3)^2+A_2(x+3)^2\\&{\quad+\:}B_1x^2(x+3)+B_2x^2\\\\&{=\ }A_1x^3+6A_1x^2+9A_1x\\&{\quad+\:}A_2x^2+6A_2x+9A_2\\&{\quad+\:}B_1x^3+3B_1x^2+B_2x^2\\\\&{=\ }(A_1+B_1)x^3\\&{\quad+\:}(6A_1+A_2+3B_1+B_2)x^2\\&{\quad+\:}(9A_1+6A_2)x\\&{\quad+\:}9A_2\end{aligned}$}$

Selanjutnya, menyelesaikan sistem persamaan linier dengan memperhatikan kesamaan koefisien-koefisien yang bersesuaian antara ruas kiri dan kanan.

$\large\text{$\begin{aligned}&{\begin{cases}\textsf{(i) Koef. $x^3:$}&A_1+B_1=3\\\textsf{(ii) Koef. $x^2:$}&6A_1+A_2+3B_1+B_2=10\\\textsf{(iii) Koef. $x:$}&9A_1+6A_2=27\\\textsf{(iv) Konstanta:}&9A_2=27\\\end{cases}}\\\\&(iv)\implies A_2=\bf3\\&A_2\to(iii)\implies9A_1+18=27\iff A_1=\bf1\\&A_1\to(i)\implies B_1=\bf2\\&A_1,A_2,B_2\to(ii)\implies6+3+6+B_2=10\\&{\qquad\qquad\qquad\quad\ \,}{\iff}B_2=\bf-5\\\\&{\therefore\ }A_1=\bold{1}\,,\ A_2=\bold{3}\,,\ B_1=\bold{2}\,,\ B_2=\bf-5\end{aligned}$}$

Dengan demikian, dekomposisi pecahan parsialnya adalah:

$\large\text{$\begin{aligned}&\boxed{\ \bf\frac{3x^3+10x^2+27x+27}{x^2(x+3)^2}=\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x+3}-\frac{5}{(x+3)^2}\ }\end{aligned}$}$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 22 May 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah