Jawab:

Karena kurangnya informasi (suku ke-5 tidak diketahui), maka rumus suku ke-n bisa menggunakan 2 asumsi:

• Asumsi pertama: barisan 5, 9, 15, 25, ... adalah barisan aritmatika bertingkat.
  Rumus suku ke-n: Un = n³/3 – n² + 14n/3 + 1
• Asumsi kedua: barisan 5, 9, 15, 25, ... adalah barisan khusus.
  Rumus suku ke-n:
  Un = 5n, jika n ganjil, Un = (n + 1)², jika n genap.

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Asumsi pertama: barisan aritmatika bertingkat.

Barisan: 5, 9, 15, 25, ...

• a = 5
• Beda: +4, +6, +10  ⇒ b = 4
• Beda tingkat 2: +2, +4  ⇒ c = 2
• Beda tingkat 3: +2  ⇒ d = 2
• Barisan aritmatika bertingkat 3.
• Masih kurang informasi, karena baru mendapatkan 1 suku pada beda tingkat 3.

Rumus suku ke-n:

Un = a/(0!) + b(n – 1)/(1!) + c(n – 1)(n – 2)/(2!) + d(n –1)(n – 2)(n – 3)/(3!)
Un = 5 + 4(n – 1) + 2(n² – 3n + 2)/2 + 2(n² – 3n + 2)(n – 3)/6
Un = 5 + 4n – 4 + n² – 3n + 2 + (n³ – 3n² – 3n² + 9n + 2n – 6)/3
Un = n² + 4n – 3n + 5 – 4 + 2 + (n³ – 6n² + 11n – 6)/3
Un = n² + n + 3 + n³/3 – 2n² + 11n/3 – 2
Un = n³/3 – n² + 14n/3 + 1

Periksa:

• n = 1: 1/3 – 1 + 14/3 + 1 = 15/3 = 5
• n = 2: 8/3 – 4 + 28/3 + 1 = 36/3 – 3 = 27/3 = 9
• n = 3: 27/3 – 9 + 14 + 1 = 9 – 9 + 14 + 1 = 15
• n = 4: 64/3 – 16 + 56/3 + 1 = 120/3 – 15 = 40 – 15 = 25

Rumus suku ke-n benar untuk n = 1 sampai n = 4.

Jadi, rumus suku ke-n adalah:

Un = n³/3 – n² + 14n/3 + 1

______________

Asumsi kedua: barisan khusus

Barisan: 5, 9, 15, 25, ...

• U1 = 5 = 5×1  ⇒ 5n
• U2 = 9 = (2 + 1)²  ⇒ (n + 1)²
• U3 = 15 = 5×3  ⇒ 5n
• U4 = 25 = (4 + 1)²  ⇒ (n + 1)²

Rumus suku ke-n:

• Un = 5n, jika n ganjil,
• Un = (n + 1)², jika n genap.