Kuis Misalkan saya ingin membuktikan suatu pernyataan berlaku untuk setiap

Berikut ini adalah pertanyaan dari kelvinho018527 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

KuisMisalkan saya ingin membuktikan suatu pernyataan berlaku untuk setiap n bilangan genap. Jadi, saya melakukan induksi matematika yang dimodifikasi:
-> cek n= 0
-> asumsikan n= k benar dan buktikan benar untuk setiap n= k+2.

Apakah langkah saya sudah tepat? Jelaskan.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Langkah penetapan $n = 0$ pada tahap basis induksi, dan $n = k + 2$ untuk pembuktian pada tahap langkah induksi, sudah tepat.
Yang kurang tepatadalahdomain di mana pernyataan berlaku.

Penjelasan

Domain dan Basis Induksi

Menurut saya, domain perlu dibatasi, karena jika $n$ bilangan genap, maka $n$ ∈ ℤ dengan $n\ {\rm mod}\ 2=0$ . Sedangkan interval ℤ adalah (–∞, ∞).

Karena intervalnya terbuka, kita tidak dapat menetapkan bilangan basis $n$ pada tahap pembuktianbasis induksi. Basis induksi memerlukan bilangan “basis“, yang merupakan bilangan terkecil (atau terbesar) pada domain $n$ .

Dalam hal ini, basis induksi yang telah ditetapkan adalah $n = 0$ . Maka, $n$ ∈ bilangan genap tak-negatif.

Langkah Induksi

Langkah induksi ingin membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk sebuah bilangan yang merupakan hasil inkrementasi (atau dekrementasi jika menurun), dengan selisih sesuai spesifikasi himpunan bilangan yang dibicarakan, dari sebuah bilangan $k$ yang dipilih secara acak, dan sebelumnya sudah diasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk $n = k$ .

Jika domain atau himpunan bilangan yang diuji adalah bilangan asli, maka $n = k + 1$ .
Untuk domain bilangan genap atau ganjil (kita kesampingkan batasnya), penetapan $n = k + 2$ pada langkah induksi sudah benar. Barisan aritmatika bilangan genap atau ganjil memiliki beda/selisih antarsuku = 2. Bilangan bulat $(k + 2)$ adalah bilangan genap (atau ganjil) berikutnya setelah bilangan genap (atau ganjil) $k$ .

Contoh Kasus

Kita akan membuktikan dengan induksi matematika bahwa
$\begin{aligned}0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + n^2 = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}\end{aligned}$
untuk setiap bilangan genap tak-negatif n.

Cara Pembuktian 1 (seperti yang dinyatakan oleh soal)

Langkah 1: Basis Induksi

Untuk $n = 0$ , $0^2=(0\cdot1\cdot2)/6$ merupakan pernyataan yang benar.

Langkah 2: Asumsi/Hipotesis

Untuk $n = k$ di mana $k$ adalah sembarang bilangan genap tak-negatif, diandaikan persamaan tersebut benar, yaitu

$\begin{aligned}0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + k^2 = \frac{k(k+1)(k+2)}{6}\end{aligned}$

Langkah 3: Langkah Induksi

Akan ditunjukkan bahwa persamaan tersebut benar pula untuk $n=k+2$ , yaitu

$\begin{aligned}0^2+2^2+4^2+{\dots}+k^2+(k+2)^2=\frac{(k+2)(k+3)(k+4)}{6}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{\sf Ruas\ kiri}\\&{=\ }0^2+2^2+4^2+{\dots}+k^2+(k+2)^2\\&{=\ }\frac{k(k+1)(k+2)}{6}+(k+2)^2\\&{=\ }\frac{k(k+1)(k+2)+6(k+2)^2}{6}\\&{=\ }\frac{(k+2)\left(k(k+1)+6(k+2)\right)}{6}\\&{=\ }\frac{(k+2)\left(k^2+k+6k+12\right)}{6}\\&{=\ }\frac{(k+2)\left(k^2+7k+12\right)}{6}\\&{=\ }\frac{(k+2)(k+3)(k+4)}{6}\\&{=\ }{\sf Ruas\ kanan}\end{aligned}$

Ruas kiri = ruas kanan, maka persamaan tersebut benar pula untuk $n = k + 2$ .

Kesimpulan
$\begin{aligned}0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + n^2 = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}\end{aligned}$
untuk setiap bilangan genap tak-negatif $n$ .
$\blacksquare$

Cara Pembuktian 2

Langkah 0: Persiapan

Jika $n$ adalahbilangan genap tak-negatif,maka terdapat bilangan cacah m di mana $n = 2m$ . Sehingga, persamaan yang ingin dibuktikan ekuivalen dengan:

$\begin{aligned}&0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + (2m)^2 = \frac{2m(2m + 1)(2m + 2)}{6}\\&\Rightarrow \boxed{0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + (2m)^2=\frac{2m(m + 1)(2m + 1)}{3}}\\\end{aligned}$

Langkah 1: Basis Induksi

Untuk $m = 0$ , $0^2=(0\cdot1\cdot1)/3$ merupakan pernyataan yang benar.

Langkah 2: Asumsi/Hipotesis

Untuk $m = k$ di mana $k$ adalah sembarang bilangan cacah, diandaikan persamaan tersebut benar, yaitu

$\begin{aligned}0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + (2k)^2=\frac{2k(k+1)(2k+1)}{3}\end{aligned}$

Langkah 3: Langkah Induksi

Akan ditunjukkan bahwa persamaan tersebut benar pula untuk $m=k+1$ , yaitu

$\begin{aligned}0^2 + 2^2 + 4^2 + {\dots} + (2k)^2+\left(2(k+1)\right)^2=\frac{2(k+1)(k+2)(2k+3)}{3}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{\sf Ruas\ kiri}\\&{=\ }0^2+2^2+4^2+{\dots}+(2k)^2+\left(2(k+1)\right)^2\\&{=\ }\frac{2k(k+1)(2k+1)}{3}+\left(2(k+1)\right)^2\\&{=\ }\frac{2k(k+1)(2k+1)}{3}+4(k+1)^2\\&{=\ }\frac{2k(k+1)(2k+1)+12(k+1)^2}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)\left(2k(2k+1)+12(k+1)\right)}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)\left(4k^2+2k+12k+12\right)}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)\left(4k^2+14k+12\right)}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)(2k+4)(2k+3)}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)\left(2(k+2)\right)(2k+3)}{3}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\frac{2(k+1)(k+2)(2k+3)}{3}\\&{=\ }\sf Ruas\ kanan\end{aligned}$

Ruas kiri = ruas kanan, maka persamaan tersebut benar pula untuk $m = k + 1$ berdasarkan asumsi untuk .

Sehingga, persamaan awal untuk $n = 2m$ di mana $n$ adalah bilangan genap tak-negatif, juga benar.
$\blacksquare$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 10 May 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Kuis Misalkan saya ingin membuktikan suatu pernyataan berlaku untuk setiap

Jawaban dan Penjelasan

Penjelasan

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika