Coba jelaskan mengapa perkalian matriks tidak komutatif?

Berikut ini adalah pertanyaan dari putudewi1989 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Hal tersebut dikarenakan :

Hasil yang diperoleh AB ≠ BA
Baris dan kolom matriks sangat mempengaruhi hasil ordo matriks

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui :

Matriks tidak bersifat komutatif

Ditanya :

Alasan matriks bersifat komutatif ?

Jawab :

Sifat komutatif adalah sifat dalam matematika berupa pertukaran tempat yang tidak mempengaruhi hasil. Contoh :

1 + 3 = 3 + 1
2 x 5 = 5 x 2

•Pembuktian Pertama•

Misalkan ada matriks A = $\rm \left(\begin{matrix} 1&2\\ 3&4 \end{matrix}\right)$ dan matriks B = $\rm \left(\begin{matrix} 5&6\\ 7&8 \end{matrix}\right)$ .Bandingkan perkalian AB dengan BA :

$\rm \left(\begin{matrix} 1&2\\ 3&4 \end{matrix}\right) . \left(\begin{matrix} 5&6\\ 7&8 \end{matrix}\right) : \left(\begin{matrix} 5&6\\ 7&8 \end{matrix}\right) . \left(\begin{matrix} 1&2\\ 3&4 \end{matrix}\right)$

$\rm \left(\begin{matrix}1.5+2.7 & 1.6+2.8\\ 3.5+4.7 & 3.6+4.8\end{matrix}\right) : \left(\begin{matrix}5.1+6.3 & 5.2 + 6.4 \\ 7.1 + 8.3 & 7.2 + 8.4 \end{matrix}\right)$

$\rm \left(\begin{matrix}5+14 & 6+16\\ 15+28 & 18+32\end{matrix}\right) : \left(\begin{matrix}5+18 & 10 + 24 \\ 7 + 24 & 14 + 32 \end{matrix}\right)$

$\rm \left(\begin{matrix}19 & 22\\ 43 & 50\end{matrix}\right) : \left(\begin{matrix}23 & 34 \\ 31 & 46 \end{matrix}\right)$

Terlihat dari hasilnya berbeda. Maka AB ≠ BA

$\\$

•Pembuktian Kedua•

Ordo adalah jumlah baris dan kolom matriks. Jika ordo (2,2) berarti 2 baris dan 2 kolom. Dalam kasus perkalian matriks, ordo matriks sangat mempengaruhi ordo matriks hasil. Syarat bisa terjadi perkalian matriks, ordo b = c. Untuk hasil ordo matriks akan berordo (a,d).

$\rm M_{(a,b)} . M_{(c,d)} = M_{(a,d)}$