Kurva y²=x dan x²=y berpotongan di titik (0,0) dan membentuk suatu daerah simetris terhadap kedua sumbu koordinat.

Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu x, maka hasilnya adalah benda putar tiga dimensi yang dibentuk oleh memutar daerah tersebut sepanjang lingkaran yang dibentuk oleh sumbu x.

Untuk menghitung volume benda putar ini, dapat menggunakan metode disk atau metode cincin. Karena sumbu putar adalah sumbu x, maka perlu menggunakan rumus sebagai berikut:

Metode Disk:

Volume = π∫(f(x))² dx dari a ke b

Metode Cincin:

Volume = π∫(g(x))² - (f(x))² dx dari a ke b

Karena kurva yang dibatasi oleh persamaan y²=x dan x²=y memiliki simetri terhadap kedua sumbu koordinat, maka volume benda putar yang dihasilkan juga simetris terhadap sumbu y.

Dalam hal ini, untuk memudahkan perhitungan, kita dapat menghitung setengah dari volume benda putar saja, kemudian hasilnya dikalikan dengan 2.

Mari kita hitung menggunakan metode disk:

Pertama, kita perlu menentukan batas-batas integral a dan b. Batas bawah a adalah 0 karena kurva tersebut berpotongan di titik (0,0). Batas atas b dapat ditentukan dengan mencari titik potong kedua kurva tersebut:

y² = x

x² = y

maka:

y²² = y

y⁴ - y = 0

y (y³ - 1) = 0

y = 0 atau y = 1

Titik potong kedua kurva tersebut adalah (1,1). Oleh karena itu, batas atas b adalah 1.

Selanjutnya, kita perlu menentukan persamaan fungsi f(x) yang merepresentasikan jarak antara kurva dan sumbu x pada setiap titik x. Fungsi f(x) dapat diperoleh dari persamaan y²=x, y = √x, sehingga:

f(x) = √x

Volume setengah benda putar adalah:

Volume/2 = π∫(√x)² dx dari 0 ke 1

= π∫x dx dari 0 ke 1

= π[x²/2] dari 0 ke 1

= π/2

Volume benda putar adalah 2 x (Volume/2) = 2 x (π/2) = π.

Jadi, volume benda putar yang dihasilkan saat daerah yang dibatasi oleh kurva y²=x dan x²=y diputar mengelilingi sumbu x adalah π.