Jawab:

Dalam masalah ini, kita dapat menggunakan teorema jarak antara dua titik pusat lingkaran dan sifat-sifat lingkaran yang berkaitan dengan garis singgung.

Jarak antara titik pusat kedua lingkaran dapat dihitung sebagai berikut:

1. Gambar lingkaran pertama (berjari-jari 19 cm) dan lingkaran kedua (berjari-jari 10 cm).

2. Gambar garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran, dan titik-titik tempat garis singgung tersebut menyentuh kedua lingkaran. Kita sebut titik-titik tersebut sebagai titik A dan titik B seperti pada gambar di bawah ini.


3. Kita perhatikan bahwa garis singgung persekutuan luar tersebut memotong garis yang menghubungkan kedua titik pusat lingkaran (garis AB) pada titik Tengah, dan membentuk dua segitiga sama kaki (yaitu segitiga ATB dan segitiga BTB').

4. Kita sebut jarak antara titik pusat lingkaran pertama dan titik tengah garis AB sebagai x, dan jarak antara titik pusat lingkaran kedua dan titik tengah garis AB sebagai y, seperti pada gambar di bawah ini.


5. Kita dapat menghitung panjang sisi miring segitiga ATB atau segitiga BTB' menggunakan rumus Pythagoras:

AB^2 = AT^2 + TB^2

AB^2 = BT^2 + TB'^2

Diketahui panjang AB = 40 cm, jari-jari lingkaran pertama r1 = 19 cm, dan jari-jari lingkaran kedua r2 = 10 cm. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut:

40^2 = (x + y)^2 + (r1 - r2)^2

40^2 = (x - y)^2 + (r1 + r2)^2

6. Kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai x dan y. Caranya adalah dengan mengeliminasi variabel y dari kedua persamaan tersebut secara bersamaan. Kita kuadratkan kedua persamaan tersebut untuk mengeliminasi akar pangkat dua dari (x + y) dan (x - y), dan kemudian kita kurangi persamaan yang satu dari persamaan yang lainnya, sehingga kita mendapatkan persamaan yang hanya mengandung variabel x, yaitu:

2xy = 800

7. Kita dapat menggunakan persamaan 2xy = 800 untuk menentukan nilai x atau y. Misalnya, kita dapat menentukan nilai y terlebih dahulu sebagai berikut:

y = 400/x

8. Kita dapat memasukkan nilai y ke dalam salah satu persamaan sebelumnya untuk mencari nilai x. Misalnya, kita dapat memasukkan nilai y ke dalam persamaan 40^2 = (x + y)^2 + (r1 - r2)^2, sehingga kita mendapatkan:

40^2 = (x + 400/x)^2 + 81

9. Kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut untuk mencari nilai x. Caranya adalah dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan x^2, sehingga kita mendapatkan persamaan kuadratik:

1600x^2 = (x^2 + 400)^2 + 81x^2

1600x^2 = x^4 + 800x^2 + 160000 + 81x^2

0 = x^4 - 719x^2 + 160000

10. Kita dapat menyelesaikan persamaan kuadratik tersebut menggunakan rumus kuadrat atau menggunakan metode lain yang sesuai. Setelah kita menemukan nilai x, kita dapat menghitung nilai y menggunakan persamaan y = 400/x.

Dalam hal ini, kita akan menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tersebut:

x^4 - 719x^2 + 160000 = 0

Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat mengganti variabel x^2 dengan variabel baru, misalnya z. Dengan demikian, persamaan kuadratik tersebut dapat dituliskan kembali sebagai:

z^2 - 719z + 160000 = 0

Kita dapat menyelesaikan persamaan ini menggunakan rumus kuadrat:

z = [719 ± √(719^2 - 4(1)(160000))] / (2(1))

z = [719 ± √(515761)] / 2

z1 = 579

z2 = 140

Karena z = x^2, maka kita hanya perlu mempertimbangkan solusi positifnya:

x^2 = z1 = 579

x = √579

Sekarang, kita dapat menghitung nilai y menggunakan persamaan y = 400/x:

y = 400/√579

11. Akhirnya, kita dapat menghitung jarak antara kedua pusat lingkaran menggunakan rumus:

jarak = x + y

jarak = √579 + 400/√579

jarak ≈ 38,77 cm

Sehingga, jarak kedua pusat lingkaran adalah sekitar 38,77 cm.

Penjelasan dengan langkah-langkah: