1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

(+50) Materi: Persamaan Kuadrat Tunjukkan bagaimana caranya memperoleh rumus kuadratik

Berikut ini adalah pertanyaan dari Hayst pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

(+50) Materi: Persamaan KuadratTunjukkan bagaimana caranya memperoleh rumus kuadratik mulai dari ax² + bx + c = 0.
x = \frac{ - b \: ± \: \sqrt{ {b}^{2} \: - \: 4ac } }{2a}
Tunjukkan cara mendapatkan rumusnya.​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

Persamaan Kuadrat dan Rumus Akar Kuadratik (Rumus ABC)

Menurunkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 menjadi rumus ABC.

CARA PERTAMA

\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Persamaan kuadrat:}\\&{\quad}ax^2+bx+c=0\,,\quad a\ne0\\\\&\textsf{Bagi kedua ruas dengan \ $a$ }.\\&{\quad}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\\\&\textsf{Kurangi kedua ruas \ $\frac{c}{a}$ }.\\&{\quad}x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\\\\&\textsf{Lengkapkan menjadi kuadrat sempurna}.\\&{\quad}x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Faktorkan ruas kiri}.\\&{\quad}\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\\\\&\textsf{Jabarkan dan sederhanakan}.\\&{\quad}\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\\\&{\quad}\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{-4ac+b^2}{4a^2}\\\\&{\quad}\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Tarik akar}.\\&{\quad}\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\\\&{\quad}x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\\\&\textsf{Kurangi kedua ruas \ $\frac{b}{2a}$ }.\\&{\quad}x=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}-\frac{b}{2a}\\\\&{\quad}x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Samakan penyebut}.\\&{\quad}x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}\\\\&{\quad}x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\&{\quad}\boxed{\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,,\quad a\ne0\ }\end{aligned}$}

Rumus kuadratik ABC telah diperoleh.

_________________________

CARA KEDUA

\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Persamaan kuadrat:}\\&{\quad}ax^2+bx+c=0\,,\quad a\ne0\\\\&\textsf{Bagi kedua ruas dengan \ $a$ }.\\&{\quad}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\qquad....(i)\\\\&\textsf{Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akarnya,}\\&\textsf{maka:}\\&{\quad}(x-\alpha)(x-\beta)=0\\&{\quad}x-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Menyamakan dengan $(i)$, kita peroleh:}\\&{\quad}\left[\ \alpha+\beta=-\frac{b}{a}\,,\ \ \alpha\beta=\frac{c}{a}\ \right ]\\\\&\textsf{Sumbu simetri ada di \ $\frac{\alpha+\beta}{2}=-\frac{b}{2a}$,}\\&\textsf{sehingga ada jarak yang sama, misalkan $z$,}\\&\textsf{dari sumbu simetri ke $\alpha$ atau $\beta$.}\\&\textsf{Oleh karena itu,}\\&{\quad}\alpha,\beta=-\frac{b}{2a}\pm z\qquad....(ii)\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Akibatnya,}\\&{\quad}\frac{c}{a}=\alpha\beta=\left(-\frac{b}{2a}+z\right)\left(-\frac{b}{2a}-z\right)\\&{\quad}\frac{c}{a}=\frac{b^2}{4a^2}-z^2\\&{\quad}\iff z=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\&{\quad}\iff z=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}&\textsf{Substitusi nilai $z$ di atas ke $(ii)$:}\\&{\quad}\alpha,\beta=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\&{\quad}\boxed{\ \alpha,\beta=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,,\quad a\ne0\ }\end{aligned}$}

Rumus kuadratik ABC telah diperoleh.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 18 May 22
<< Previous Post
Next Post >>