Jawaban:

Dalam kasus ini, fungsi produksi yang diberikan adalah y = 100x₁^0,5x₂^0,5, di mana x₁ adalah input pertama dan x₂ adalah input kedua. Tingkat harga P adalah 20, dan harga input r₁ dan r₂ adalah 4 dan 2.

a. Untuk menghitung dan menggambar expansion path, kita akan menggunakan persamaan isokuantitas (isoquant) yang menggambarkan kombinasi input yang menghasilkan tingkat output yang sama.

Persamaan isoquant:

100x₁^0,5x₂^0,5 = y

Kita dapat menentukan beberapa kombinasi input yang menghasilkan tingkat output yang berbeda, seperti y = 100, y = 200, y = 300, dan seterusnya. Kemudian, kita dapat mencari nilai x₁ untuk setiap nilai y dengan memperhatikan nilai x₂ = 1 (misalnya) untuk menyederhanakan perhitungan.

Misalnya, untuk y = 100:

100x₁^0,5(1)^0,5 = 100

x₁^0,5 = 1

x₁ = 1

Dengan demikian, titik pertama pada expansion path adalah (1, 1). Selanjutnya, kita dapat mengulangi langkah ini untuk nilai y yang berbeda untuk menggambar expansion path.

b. Untuk mencari kombinasi input yang memaksimumkan keuntungan, kita harus memaksimalkan fungsi keuntungan, yang diberikan oleh:

Profit = Py - (r₁x₁ + r₂x₂)

Dalam hal ini, P = 20, r₁ = 4, dan r₂ = 2. Karena kita tidak diberikan fungsi biaya, kita tidak dapat menentukan dengan pasti kombinasi input yang memaksimumkan keuntungan. Namun, kita dapat menggunakan pendekatan umum dengan menggunakan kondisi optimalitas, yaitu:

Marginal Rate of Technical Substitution (MRTS) = - ∆x₂ / ∆x₁ = (Px₁ / Px₂)

MRTS menggambarkan perubahan input x₂ yang diperlukan untuk mengkompensasi perubahan input x₁, sedangkan Px₁ dan Px₂ adalah harga input relatif.

Kami dapat menggunakan MRTS untuk menghitung persamaan kurva isokuantitas pada titik optimal di mana keuntungan maksimum tercapai. Namun, karena tidak diberikan fungsi biaya, kita tidak dapat menentukan kombinasi input yang spesifik.

c. Jika ada kendala biaya C₀ = 100, kita dapat menggunakan informasi ini untuk membatasi kombinasi input yang memungkinkan. Dalam hal ini, kita harus memaksimalkan keuntungan dengan mempertimbangkan biaya maksimum C₀.

Kita dapat menggunakan pendekatan program linier untuk menyelesaikan masalah optimasi ini, dengan memasukkan fungsi keuntungan dan kendala biaya. Namun, tanpa fungsi biaya yang spesifik, kita tidak dapat memberikan kombinasi input yang sesuai dalam hal ini.

Untuk menghitung kombinasi input yang sesuai, kita membutuhkan informasi tambahan, seperti fungsi biaya atau batasan yang lebih terperinci.