1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Misalkan f(n) menyatakan semua jumlah faktor prima dari n yang

Berikut ini adalah pertanyaan dari NekoScience pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Misalkan f(n) menyatakan semua jumlah faktor prima dari n yang kurang dari 10 nilai dari f(1) + f(2) + f(3) + ........... + f(60) adalah​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Misalkan f(n) menyatakan semua jumlah faktor prima dari n yang kurang dari 10 nilai dari f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(60) adalah​ 236.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Asumsi:
Faktor prima yang dijumlahkan pada f(n) adalah faktor prima berbeda (distinct).

Sebagai contoh:

  • 4 = 2×2 = 2²  ⇒ f(4) = 2.
  • 18 = 2×3×3 = 2×3²  ⇒ f(18) = 2+3 = 5.
  • 56 = 2×2×2×7 = 2³×7  ⇒ f(56) = 2+7 = 9.

Penyelesaian

Bilangan prima yang kurang dari 10 adalah 2, 3, 5, dan 7.

Untuk 1 ≤ n ≤ 60, n ∈ bilangan asli:

  • Banyak n yang habis dibagi 2:
    ⇒ 30 bilangan
  • Banyak n yang habis dibagi 3:
    ⇒ 20 bilangan
  • Banyak n yang habis dibagi 5:
    ⇒ 12 bilangan
  • Banyak n yang habis dibagi 7:
    ⇒ 8 bilangan

Jika kita susun secara tabular (dengan tabel), dengan kolom pertama untuk n dan kolom-kolom berikutnya masing-masing untuk 2, 3, 5, 7, dan f(n), maka kita akan memperoleh tabel seperti berikut ini.

\begin{array}{c|c|c|c|c|c}n&2&3&5&7&f(n)\\1&&&&&0\\2&\bullet&&&&2\\3&&\bullet&&&3\\4&\bullet&&&&2\\5&&&\bullet&&5\\6&\bullet&\bullet&&&5\\7&&&&\bullet&7\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}\\57&&\bullet&&&3\\58&\bullet&&&&2\\59&&&&&0\\60&\bullet&\bullet&\bullet&&10\\\end{array}

Jumlah pada kolom f(n) = jumlah dari jumlah kolom faktor 2, faktor 3, faktor 5, dan faktor 7.

  • Jumlah pada kolom faktor 2:
    2 × banyak n yang habis dibagi 2
    = 2 × 30
    = 60
  • Jumlah pada kolom faktor 3:
    3 × banyak n yang habis dibagi 3
    = 3 × 20
    = 60
  • Jumlah pada kolom faktor 5:
    5 × banyak n yang habis dibagi 5
    = 5 × 12
    = 60
  • Jumlah pada kolom faktor 7:
    7 × banyak n yang habis dibagi 7
    = 7 × 8
    = 56

Jadi:
f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(60)
= 60 + 60 + 60 + 56
= 180 + 56
= 236

Atau dapat kita rumuskan sebagai berikut.

Jika Padalah sebuah himpunan bilangan prima terbatas denganp_i \in P, dan f(n)menyatakan jumlah semua faktor prima darin, maka untuk 1 ≤ n ≤ 60, n ∈ bilangan asli:

\begin{aligned}\sum_{n=1}^{m}f(n)&=\sum_{p_i\,\in\,P}\left(p_i\cdot\left\lfloor\frac{m}{p_i}\right\rfloor\right)\end{aligned}

Sehingga untuk persoalan ini:

\begin{aligned}\sum_{n=1}^{60}f(n)&=\sum_{\!\!\!p_i\,\in\,\{2,3,5,7\}\!\!\!}\left(p_i\cdot\left\lfloor\frac{60}{p_i}\right\rfloor\right)\\&=2\cdot\left\lfloor\frac{60}{2}\right\rfloor+3\cdot\left\lfloor\frac{60}{3}\right\rfloor+5\cdot\left\lfloor\frac{60}{5}\right\rfloor+7\cdot\left\lfloor\frac{60}{7}\right\rfloor\\&=2\cdot30+3\cdot20+5\cdot12+7\cdot8\\&=60+60+60+56\\\sum_{n=1}^{60}f(n)&=\boxed{\,\bf236\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 03 Mar 23
<< Previous Post
Next Post >>