1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

integral malam malam,bebas mau jawab yang mana,kalo semua lebih bagus​

Berikut ini adalah pertanyaan dari miawaug1240 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Integral malam malam,bebas mau jawab yang mana,kalo semua lebih bagus​
integral malam malam,bebas mau jawab yang mana,kalo semua lebih bagus​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Saya jawab dari yang termudah

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Nomor 1 \displaystyle \int (ax+b)^n~dx

Integral substitusi

\displaystyle u=ax+b\\du=a~dx

\begin{aligned}\int (ax+b)^n&\:=\int u^n~\frac{du}{a}\\\:&=\frac{u^{n+1}}{a(n+1)}+C\\\:&=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C\end{aligned}

Nomor 2 \displaystyle \int \frac{dx}{(ax+b)^n}

Integral substitusi

\begin{aligned}\int \frac{dx}{(ax+b)^n}&\:=\int \frac{1}{u^n}~\frac{du}{a}\\\:&=\int \frac{u^{-n}}{a}~du\\\:&=\int \frac{u^{-n+1}}{a(-n+1)}+C\\\:&=-\frac{1}{a(n-1)u^{n-1}}+C\\\:&=-\frac{1}{a(n-1)(ax+b)^{n-1}}+C\end{aligned}

Nomor 3 \displaystyle \int e^{3x}~dx

Integral substitusi

\begin{aligned}u&\:=3x\\du\:&=3~dx\end{aligned}

\begin{aligned}\int e^{3x}~dx&\:=\int e^u~\frac{du}{3}\\\:&=\frac{1}{3}~e^u+C\\\:&=\frac{1}{3}~e^{3x}+C\end{aligned}

Nomor 4 \displaystyle \int \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}~dx

Integral substitusi

\begin{aligned}u&\:=1+\sin x\\du\:&=\cos x~dx\end{aligned}

\begin{aligned}\int \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}&\:=\int \frac{\cancel{\cos x}}{\sqrt{u}}~\frac{du}{\cancel{\cos x}}\\\:&=\int u^{-\frac{1}{2}}~du\\\:&=\int 2u^{\frac{1}{2}}+C\\\:&=2\sqrt{u}+C\\\:&=2\sqrt{1+\sin x}+C\end{aligned}

Nomor 5 \displaystyle \int \arctan 2x~dx

Integral substitusi dan parsial

\displaystyle \int \arctan 2x~dx=\frac{1}{2}\int \arctan p~dp

Selesaikan \displaystyle \int \arctan p~dp

\displaystyle \begin{matrix}u=\arctan p & dv=dp\\ du=\frac{1}{1+p^2}~dp & v=p\end{matrix}

\begin{aligned}\int u~dv&\:=uv-\int v~du\\\int \arctan p~dp\:&=p\arctan p-\int \frac{p}{1+p^2}~dp\\\:&=p\arctan p-\int \frac{p}{q}~\frac{dq}{2p}\\\:&=p\arctan p-\frac{1}{2}\ln|q|\\\:&=p\arctan p-\frac{\ln(1+p^2)}{2}\end{aligned}

maka

\begin{aligned}\int \arctan 2x&\:=\frac{1}{2}\left [ p\arctan p-\frac{\ln(1+p^2)}{2} \right ]+C\\\:&=\frac{1}{2}\left [ 2x\arctan 2x-\frac{\ln(1+4x^2)}{2} \right ]+C\\\:&=x\arctan 2x-\frac{1}{4}\ln(4x^2+1)+C\end{aligned}

Nomor 6 \displaystyle \int \frac{(1-2x)e^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx

Integral parsial

\displaystyle \int \frac{(1-2x)e^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx=\int \frac{e^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx-\int \frac{2xe^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx

Selesaikan \displaystyle \int \frac{2xe^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx

\displaystyle \begin{matrix}u=e^{\arctan x} & dv=\frac{2x}{(1+x^2)^2}~dx\\du=\frac{e^{\arctan x}}{1+x^2}~dx & v=-\frac{1}{1+x^2}\end{matrix}\\\int \frac{2xe^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx=-\frac{e^{\arctan x}}{1+x^2}+\int \frac{e^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx

Diperoleh

\begin{aligned}\int \frac{(1-2x)e^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx&\:=\int \frac{e^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx-\int \frac{2xe^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx\\\:&=\int \frac{e^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx-\left [ -\frac{e^{\arctan x}}{1+x^2}+\int \frac{e^{\arctan x}}{(1+x^2)^2}~dx \right ]\\\:&=\frac{e^{\arctan x}}{1+x^2}+C\end{aligned}

Nomor 7 \displaystyle \int \left ( \sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x} \right )dx

Melibatkan trik manipulasi

\displaystyle \int \left ( \sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x} \right )dx\\=\int \left ( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}+\sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right )dx\\=\int \left ( \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}}+\frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}} \right )dx\\=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin x\cos x}}~dx\\=\sqrt{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{2\sin x\cos x+1-1}}~dx\\=\sqrt{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{2\sin x\cos x+1-(\sin^2 x+\cos^2 x)}}~dx

\displaystyle =\sqrt{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}~dx\\=\sqrt{2}\int \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-u^2}}~\frac{du}{\cos x+\sin x}\\=\sqrt{2}\arcsin u+C\\=\sqrt{2}\sin^{-1}(\sin x-\cos x)+C

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh peesbedrf dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Tue, 04 Jul 23
<< Previous Post
Next Post >>