1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

diketahui pola 1 pangkat 2 tambah 2 pangkat 2 tambah

Berikut ini adalah pertanyaan dari marshandadwi51 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

diketahui pola 1 pangkat 2 tambah 2 pangkat 2 tambah 3 pangkat 2 + titik-titik + N2 formula yang memenuhi pola tersebut adalah Sn =​
diketahui pola 1 pangkat 2 tambah 2 pangkat 2 tambah 3 pangkat 2 + titik-titik + N2 formula yang memenuhi pola tersebut adalah Sn =​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Diketahui pola 1² + 2² + 3² + ... + n². Formula yang memenuhi pola tersebut adalah:
\boxed{\vphantom{\bigg|}\,S_n=\bf\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\,}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita bisa menghafal atau mengingat-ingat rumus deret jumlah dari kuadrat n bilangan asli pertama tersebut di atas. Namun, alangkah baiknya jika kita juga dapat memahami bagaimana menurunkan rumus tersebut.

Untuk mencari formula/rumus jumlah dari kuadrat n bilangan asli pertama, yaitu 1² + 2² + 3² + ... + n², kita dapat memanfaatkan persamaan kubik (pangkat/derajat 3).

\begin{aligned}n^3-(n-1)^3&=n^3-\left(n^3-3n^2+3n-1\right)\\&=n^3-n^3+3n^2-3n+1\\n^3-(n-1)^3&=3n^2-3n+1\end{aligned}

Kita susun penjumlahan n³ – (n – 1)³, (n – 1)³ – (n – 2)³, (n – 2)³ – (n – 3)³, dst. sampai 1³ – 0³.

\begin{aligned}n^3-(n-1)^3&=3n^2-3n+1\\(n-1)^3-(n-2)^3&=3(n-1)^2-3(n-1)+1\\(n-2)^3-(n-3)^3&=3(n-2)^2-3(n-2)+1\\(n-3)^3-(n-4)^3&=3(n-3)^2-3(n-3)+1\\\vdots\qquad\vdots\qquad&\qquad\qquad\vdots\qquad\vdots\\2^3-1^3&=3\cdot2^2-3\cdot2+1\\1^3-0^3&=3\cdot1^2-3\cdot1+1\\\textsf{--------------------------}&\textsf{-----------------------------------}\ +\\\end{aligned}

  • Jumlah dari ruas kiri menghasilkan n^3.
  • Jumlah dari ruas kanan menghasilkan 3\sum\limits_{i=1}^{n}i^2-3\sum\limits_{i=1}^{n}i+1.

Sehingga:

\begin{aligned}n^3&=3\sum_{i=1}^{n}i^2-3\sum_{i=1}^{n}i+n\\n^3&=3\sum_{i=1}^{n}i^2-3\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n\\3\sum_{i=1}^{n}i^2&=n^3+3\cdot\frac{n(n+1)}{2}-n\end{aligned}

Kedua ruas dibagi oleh 3.

\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}i^2&=\frac{n^3}{3}+\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n}{3}\\&=n\left(\frac{n^2}{3}+\frac{n+1}{2}-\frac{1}{3}\right)\\&=n\left(\frac{2n^2+3(n+1)-2}{6}\right)\\&=\frac{n}{6}\left(2n^2+3n+3-2\right)\\&=\frac{n}{6}\left(2n^2+3n+1\right)\\&=\frac{n}{6}\left(2n^2+2n+n+1\right)\\&=\frac{n}{6}\left(2n(n+1)+1(n+1)\right)\\&=\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)\\\sum_{i=1}^{n}i^2&=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)=S_n\end{aligned}

KESIMPULAN
∴ Dengan demikian, formula S_n yang menyatakan pola 1² + 2² + 3² + ... + n² adalah:
\boxed{\vphantom{\bigg|}\,S_n=\bf\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\,}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 10 Mar 23
<< Previous Post
Next Post >>