Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menentukan besar pelurus ZAOC, kita perlu menentukan koordinat titik Z terlebih dahulu.

Karena titik C terletak pada garis pelurus, maka koordinat Z sama dengan koordinat C. Diketahui koordinat C adalah (a+3, 2a), sehingga koordinat Z adalah (a+3, 2a).

Selanjutnya, kita perlu menentukan koordinat titik O yang merupakan pusat lingkaran. Karena titik O merupakan titik tengah dari diameter AC, maka koordinat O dapat ditentukan dengan menggunakan rumus titik tengah:

O = ((xA + xC) / 2, (yA + yC) / 2)

Substitusikan koordinat titik A dan C ke rumus tersebut, maka diperoleh:

O = ((a+3+0)/2, (2a+1)/2)

= ((a+3)/2, a+1/2)

Selanjutnya, kita dapat menentukan persamaan garis yang melalui titik Z dan O menggunakan rumus:

(y2 - y1) = m(x2 - x1)

Dengan substitusi koordinat Z dan O, diperoleh:

(2a - (a+1/2)) = m((a+3)/2 - (a+3))

3/2 = -5/2m

m = -3/5

Karena garis ZO merupakan garis tegak lurus terhadap garis pelurus, maka produk gradien kedua garis tersebut adalah -1. Dalam hal ini, produk gradien adalah:

m1 x m2 = -1

-3/5 x m2 = -1

m2 = 5/3

Dengan menggunakan gradien dan koordinat titik O, persamaan garis ZO dapat dituliskan dalam bentuk:

y - (a+1/2) = (5/3)(x - (a+3)/2)

Terakhir, kita perlu menentukan titik potong antara garis ZO dan garis y = 3. Substitusikan y = 3 ke persamaan garis ZO, maka diperoleh:

3 - (a+1/2) = (5/3)(x - (a+3)/2)

13/6 - a/2 = (5/3)(x - (a+3)/2)

x = -1/5a + 16/15

Titik potong antara garis ZO dan garis y = 3 memiliki koordinat (-1/5a + 16/15, 3).

Dengan demikian, kita dapat menentukan panjang pelurus ZAOC dengan menggunakan rumus jarak antara titik:

ZAOC = sqrt[(a+3 - (-1/5a + 16/15))^2 + (2a - 3)^2]

Setelah melakukan perhitungan, diperoleh jawaban: A. sqrt[(26a^2 - 94a + 214)/25]