Jawaban:

Diberikan bahwa a⁵ = b⁴ dan c³ = d².

Kita perhatikan bahwa a dan b, serta c dan d memiliki pangkat yang berbeda. Untuk menjadikan pangkatnya sama, kita cari faktor prima dari a dan b, serta c dan d.

Misalkan a⁵ = b⁴ = xⁿ dengan n merupakan faktor persekutuan tertinggi dari 5 dan 4, yaitu 20. Begitu juga untuk c³ = d² = y² dengan y merupakan faktor persekutuan tertinggi dari 3 dan 2, yaitu 6.

Dengan demikian, kita dapat menuliskan:

a⁵ = (a x)²⁰ dan b⁴ = (a x)²⁰

c³ = (y z)⁶ dan d² = (y z)⁶

dengan x dan z bilangan asli.

Kita kemudian dapat menuliskan:

c - a = 19

(y z)³ - (a x) = 19

Dengan memperhatikan bahwa (a x)²⁰ = (b⁴)⁵, kita dapat menuliskan:

(y z)³ - (b⁴)⁵ = 19

Kita perhatikan bahwa persamaan ini memiliki bentuk yang mirip dengan persamaan Fermat yang dikenal sebagai "teorema terakhir Fermat". Namun, dalam kasus ini, pangkatnya lebih rendah dan bilangan yang dicari adalah selisih d dan b.

Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan metode faktorisasi untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Dalam faktorisasi, kita perlu mencari bilangan yang memiliki kuadrat yang sama dengan selisih dua pangkat, yaitu 2²⁰ - 6². Setelah dicari, kita dapat menuliskan:

2²⁰ - 6² = 1024 - 36 = 988 = 2² x 13 x 19

Dengan menggunakan faktorisasi ini, kita dapat menuliskan:

(y z)³ - (b⁴)⁵ = 19

(y z - b⁴) (y² z² + y b⁴ z + b⁸) (y² z² - y b⁴ z + b⁸) = 19

Dalam kasus ini, kita perlu mencari bilangan yang merupakan faktor dari 19 dan memenuhi syarat y z > b⁴. Karena 19 hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan 19, maka kita dapat menuliskan:

(y z - b⁴) (y² z² + y b⁴ z + b⁸) (y² z² - y b⁴ z + b⁸) = 19

1) y z - b⁴ = 1

(y z)³ - (b⁴)⁵ = 19

(y z)³ - (y z - 1)⁵ = 19

(y z)³ - (y³ z⁵ - 5 y² z⁴ + 10 y z³ - 10 z² + 5 y - 1) = 19

y³ z⁵ - 5 y² z⁴ + 10 y z³ - 10 z² + 5 y - y³ z³ + 5 y² z² - 10 y z