Untuk menyelesaikan polinom 4 derajat seperti ini, kita dapat menggunakan berbagai metode seperti metode faktorisasi, metode diskriminan, atau metode lainnya seperti metode Horner. Di sini, kita akan menggunakan metode faktorisasi.

x⁴ + 4x³ + 2x² - 4x - 3 = 0

Dalam polinomial ini, kita dapat melihat bahwa setiap koefisien adalah bilangan ganjil kecuali koefisien x². Oleh karena itu, kita dapat mencoba untuk mencari akar rasional dari polinom ini dengan menggunakan teorema rasional. Kita akan mencari akar dengan faktor 3 sebagai pembilang dan faktor 1 sebagai penyebut dari semua kemungkinan rasional yang mungkin, sehingga kita akan mencari akar yang dapat dituliskan sebagai x = ±1, ±1/3.

Jika kita mencoba memasukkan nilai-nilai ini ke dalam polinom, kita akan menemukan bahwa x = -1 adalah akar dari polinom ini. Kita dapat membagi polinom ini dengan faktor (x + 1) menggunakan metode faktorisasi biasa seperti berikut:

x⁴ + 4x³ + 2x² - 4x - 3 = (x + 1)(9x³ - 5x² - 3x + 3)

Kita dapat mencari akar-akar selanjutnya dari faktor ketiga menggunakan metode yang sama atau menggunakan rumus Cardano. Namun, kita akan menggunakan metode diskriminan untuk menyelesaikan faktor ini. Dengan menggunakan rumus diskriminan untuk kubik, kita dapat menghitung diskriminan faktor ketiga sebagai berikut:

D = b² - 4ac

= (-5)² - 4(9)(-3)

= 337

Karena diskriminan positif, faktor ketiga memiliki tiga akar, yaitu satu akar real dan dua akar kompleks konjugat. Kita dapat menuliskan faktor ketiga sebagai:

9x³ - 5x² - 3x + 3 = 9(x - r)(x² + px + q)

di mana r adalah akar real dari faktor ketiga dan p dan q adalah koefisien yang dapat dihitung dari rumus untuk diskriminan kuartik. Kita tidak perlu mengetahui nilai sebenarnya dari r, p, dan q untuk menyelesaikan masalah ini. Kita dapat menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar polinom 4 derajat dari faktor-faktornya sebagai berikut:

Jumlah akar = -b/a = -4/9

Hasil kali akar = -3/c = -3/9 = -1/3

Sehingga jumlah akar dari polinom 4 derajat ini adalah -4/9dan hasil kali akarnya adalah-1/3.

x⁴ + x³ + 13x² - x + 12 = 0

Dalam polinom ini, kita tidak dapat menemukan akar rasional yang jelas seperti dalam kasus sebelumnya. Oleh karena itu, kita akan menggunakan metode diskriminan untuk menyelesaikan polinom ini. Dengan menggunakan rumus diskriminan untuk kuartik,