a. Untuk menentukan panjang DE, kita perlu menggunakan sifat kesebangunan segitiga, yaitu rasio panjang sisi segitiga yang sejajar sama. Karena AE // BD, maka:

AE/BD = AB/BC

Diketahui AE = 15 dan AB : BC = 3 : 2. Jadi, AB = 3x dan BC = 2x.

Maka,

15/BD = 3/2

BD = 10

Selanjutnya, karena AE = AD - DE, maka:

15 = AB - DE

15 = 3x - DE

DE = 3x - 15

b. Panjang BD adalah AB + AD. Karena AB = 3x dan BC = 2x, maka:

AB + BC = 5x

Maka,

AD = 5x - BD

Karena AE // BD, maka:

AD/AE = BD/BE

(5x - BD)/15 = BD/BE

Simplifikasi persamaan tersebut akan menghasilkan:

BD^2 - 15BD + 75x = 0

Menggunakan rumus kuadrat, kita bisa mencari nilai BD:

BD = [15 ± √(15^2 - 4(75x))]/2

BD = [15 ± √(225 - 300x)]/2

Kita ambil solusi positif, yaitu:

BD = [15 + √(225 - 300x)]/2

Jadi, panjang BD adalah [15 + √(225 - 300x)]/2.

c. Untuk menentukan panjang PK, kita bisa menggunakan sifat kesebangunan segitiga lagi, yaitu:

PQ/KL = SR/KS

Diketahui PQ = 18, KL = 12, SR = 8, dan KS = 6, maka:

18/12 = 8/6

Maka,

PK = PQ - QK

PK = PQ - (KL - KP)

PK = 18 - (12 - KP)

PK = 6 + KP

Jadi, panjang PK adalah 6 + KP.

d. Karena AB // EF, maka segitiga ABC dan segitiga EDF kesebangunan. Diketahui panjang AE = 4, DE = 6, EF = 16, dan DC = 12, maka:

AB/ED = BC/DF = AC/EF

AB/6 = 12/DF = AC/16

Karena AB = 2x + 5 dan BC = 3x, maka:

(2x + 5)/6 = 12/DF = AC/16

Kita fokus pada persamaan pertama, yaitu:

(2x + 5)/6 = 12/DF

Maka,

DF = 72/(2x + 5)

Kita substitusikan ke persamaan kedua:

12 = AC/16

AC = 192

Maka,

AB = AC/EF × ED = 192/16 × 6 = 72

Kita substitusikan nilai AB dan DF ke persamaan:

AB/DF = AE/DE

(2x + 5)/6 = 4/6

2x + 5 = 4

x = -1/2

Namun, karena nilai x harus positif, maka solusi tersebut tidak dapat diterima. Oleh karena itu, tidak ada