Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan beberapa konsep geometri dasar dan teorema. Berikut adalah langkah-langkah penyelesaiannya:

Pertama, gambarlah diagram yang menggambarkan situasi ini. Diagram ini harus menunjukkan bahwa O adalah pusat lingkaran, P adalah titik potong diagonal BD, AB = 6 cm, PC = 8 cm, dan BP = 12 cm.

A------B

| |

| |

P-------C

| |

| |

D------O

Karena O adalah pusat lingkaran, maka OD adalah jari-jari lingkaran.

Karena BP adalah jari-jari lingkaran yang melalui O, maka OP = OD = 12 cm.

Karena P adalah titik potong diagonal BD, maka BP = PD.

Karena AB = 6 cm dan PC = 8 cm, maka AC = 6 + 8 = 14 cm.

Karena segitiga BPC adalah segitiga sama kaki, maka PB = PC dan ∠BPC = ∠PCB.

Karena ∠BPC = ∠PCB dan segitiga BPC adalah segitiga sama kaki, maka segitiga BPC adalah segitiga sama sisi. Oleh karena itu, BC = PC = 8 cm.

Karena segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dan AB = BC, maka ∠ABC = ∠ACB.

Karena ∠BPC = ∠ABC + ∠ACB, maka ∠ABC = (∠BPC - ∠ACB) / 2.

Karena ∠ABC = ∠ACB, maka ∠ABC = ∠ACB = (∠BPC - ∠ABC) / 2.

Karena ∠BPC = 2∠ABC + 2∠ACB, maka ∠BPC = 4∠ABC.

Substitusikan nilai PB = PD, OP = OD, dan BC = 8 cm ke dalam Teorema Al-Kashi pada segitiga BPD dan segitiga OPD. Dengan demikian, kita memiliki:

PB^2 + PD^2 - 2PB.PD.cos∠BPD = BD^2 ... Persamaan 1

OP^2 + OD^2 - 2OP.OD.cos∠POD = PD^2 ... Persamaan 2

Substitusikan nilai PB = PD, OP = OD, dan BC = 8 cm ke dalam persamaan 1 dan 2 untuk mendapatkan persamaan tunggal dengan variabel BD. Dalam hal ini, kita dapat menyelesaikan persamaan ini menggunakan manipulasi aljabar sederhana:

PD^2 + PD^2 - 2PD^2.cos∠BPD = BD^2

2PD^2(1 - cos∠BPD) = BD^2

2PD^2.sin^2(∠BPD/2) = BD^2

2(12/2)^2.sin^2(∠BPD/2) = BD^2

6^2.sin^2(∠BPD/2) = BD^2

36(1 - cos∠BPD) = BD^