Misal a=1²/1+2²/3+3²/5+.....+1001²/2001 dan b=1²/3+2²/5+3²/7+.......+1001²/2003 bilangan bulat yang nilainya paling dekat

Berikut ini adalah pertanyaan dari ayarafr pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Misal a=1²/1+2²/3+3²/5+.....+1001²/2001 dan b=1²/3+2²/5+3²/7+.......+1001²/2003 bilangan bulat yang nilainya paling dekat dengan a-b adalah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban: Bilangan bulat yang nilainya paling dekat dengan a-b adalah 501.
 

Pembahasan

Perhatikan bahwa pada $a$ dan $b$ terdapat suku-suku yang berpenyebut sama.

Penyelesaian

$\begin{aligned}a&=\frac{1^2}{1}+\frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}+\frac{4^2}{7}+{\dots}+\frac{1001^2}{2001}\\b&=\qquad\ \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}+{\dots}+\frac{1001^2}{2003}\\&\textsf{------------------------------------------------}\ -\\a-b&=\frac{1^2}{1}+\frac{2^2-1^2}{3}+\frac{3^2-2^2}{5}+\frac{4^2-3^2}{7}+{\dots}\\&\quad+\frac{1001^2-1000^2}{2001}-\frac{1001^2}{2003}\end{aligned}$

Perhatikan bentuk pembilangnya. Kita dapat memanfaatkan bentuk $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .

$\begin{aligned}a-b&=1+\frac{(2+1)(2-1)}{3}+\frac{(3+2)(3-2)}{5}+\frac{(4+3)(4-3)}{7}+{\dots}\\&\quad+\frac{(1001+1000)(1001-1000)}{2001}-\frac{1001^2}{2003}\\a-b&=1+\frac{3}{3}+\frac{5}{5}+\frac{7}{7}+{\dots}+\frac{2001}{2001}-\frac{1001^2}{2003}\\a-b&=\underbrace{1+1+1+1+{\dots}+1}_{\begin{array}{c}{\sf sebanyak\ }1001\end{array}}-\frac{1001^2}{2003}\end{aligned}$

$\begin{aligned}a-b&=1001-\frac{1001^2}{2003}\\&=1001\left(1-\frac{1001}{2003}\right)\\&=1001\left(1-\frac{1001}{2002+1}\right)\\&\quad\textsf{... pendekatan}\\&\approx1001\left(1-\frac{1}{2}\right)\\&\approx1001\cdot\frac{1}{2}\\&\approx500{,}5\\a-b&\approx\boxed{\:\bf501\:}\\\end{aligned}$