1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Buktikan bahwa : (a) Jika 13a + 4b maka 13

Berikut ini adalah pertanyaan dari mauzamauza64 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Buktikan bahwa :(a) Jika 13a + 4b maka 13 | 10a + b
(b) Jika 19 | 3x + 7y maka 19 | 43x + 75y
(c) Jika 17 | 3a + 2b maka 17 | 10a + b

haloo semua, yang bisa ngerjain ini minta tolong bantuannya yaa, dijelasin sama cara²nya. terimakasih.​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Ketiga pernyataan yang diberikan, yaitu

  • (a) Jika 13\mid a + 4bmaka13 \mid 10a + b,
  • (b) Jika 19 \mid 3x + 7ymaka19 \mid 43x + 75y, dan
  • (c) Jika 17 \mid 3a + 2bmaka17 \mid 10a + b

TERBUKTI.
 

Pembahasan

Relasi Keterbagian Bilangan Bulat

Kita akan membuktikan tiga pernyataan mengenai relasi keterbagian berikut ini.

Pernyataan (a)

Pernyataan: Jika 13\mid a + 4bmaka13 \mid 10a + b.

Pembuktian

Jika 13\mid a + 4b, maka 13\mid adan13\mid 4b.

  • Untuk 13\mid a, sudah jelas bahwa a merupakan bilangan bulat kelipatan dari 13. Karena 13 adalah bilangan prima, maka untuk setiap bilangan bulat m, berlaku 13 \mid ma.
  • Untuk 13\mid 4b, karena 13 dan 4 relatif prima, maka b harus merupakan kelipatan dari 13, sehingga 13\mid b. Oleh karena itu, untuk setiap bilangan bulat n, berlaku 13\mid nb.

Maka, untuk setiap bilangan bulat mdann,

\begin{aligned}&13 \mid ma\ {\sf dan}\ 13\mid nb\\&\Rightarrow\begin{cases}13\mid ma+nb\,\ \sf atau\\13\mid ma-nb\,\ \sf atau\\13\mid ma\times nb\,.\end{cases}\end{aligned}

∴  Dengan demikian, dengan m=10dann=1, relasi keterbagian 13 \mid 10a + b terbukti.
\blacksquare

Pernyataan (b)

Pernyataan: Jika 19 \mid 3x + 7ymaka19 \mid 43x + 75y.

Pembuktian

Untuk pernyataan ini, pembuktiannya akan serupa dengan pernyataan (a) di atas, karena 19 adalah bilangan prima.

Jika 19 \mid 3x + 7y, maka 19\mid 3xdan19\mid 7y.

  • Untuk 19\mid 3x, karena 19 dan 3 relatif prima, bahkan keduanya adalah bilangan prima, maka x harus merupakan kelipatan 19, sehingga 19\mid x.
    Oleh karena itu, untuk setiap bilangan bulat m, berlaku 19 \mid mx.
  • Untuk 19\mid 7y, karena 19 dan 7 relatif prima, bahkan keduanya adalah bilangan prima, maka y harus merupakan kelipatan 19, sehingga 19\mid y.
    Oleh karena itu, untuk setiap bilangan bulat n, berlaku 19\mid ny.

Maka, untuk setiap bilangan bulat mdann,

\begin{aligned}&19 \mid mx\ {\sf dan}\ 19\mid ny\\&\Rightarrow\begin{cases}19\mid mx+ny\,,\ \sf atau\\19\mid mx-ny\,,\ \sf atau\\19\mid mx\times ny\,.\end{cases}\end{aligned}

∴  Dengan demikian, dengan m=43dann=75, relasi keterbagian 19 \mid 43x + 75y terbukti.
\blacksquare

Pernyataan (c)

Pernyataan: Jika 17 \mid 3a + 2bmaka17 \mid 10a + b.

Pembuktian

Untuk pernyataan ini, pembuktiannya pun akan serupa dengan pernyataan (a) dan (b) di atas, karena 17 adalah bilangan prima.

Jika 17 \mid 3a + 2b, maka 17 \mid 3adan17 \mid 2b.

  • Untuk 17 \mid 3a, karena 17 dan 3 relatif prima, bahkan keduanya adalah bilangan prima, maka a harus merupakan kelipatan 17, sehingga 17\mid a.
    Oleh karena itu, untuk setiap bilangan bulat m, berlaku 17 \mid ma.
  • Untuk 17 \mid 2b, karena 17 dan 2 relatif prima, bahkan keduanya adalah bilangan prima, maka b harus merupakan kelipatan 17, sehingga 17\mid b.
    Oleh karena itu, untuk setiap bilangan bulat n, berlaku 17\mid nb.

Maka, untuk setiap bilangan bulat mdann,

\begin{aligned}&17 \mid ma\ {\sf dan}\ 17\mid nb\\&\Rightarrow\begin{cases}17\mid ma+nb\,\ \sf atau\\17\mid ma-nb\,\ \sf atau\\17\mid ma\times nb\,.\end{cases}\end{aligned}

∴  Dengan demikian, dengan m=10dann=1, relasi keterbagian 17 \mid 10a + b terbukti.
\blacksquare

__________________

Secara singkat dapat disimpulkan bahwa ketiga pernyataan di atas terbukti, karena semua faktor pembagi pada ruas kiri relasi keterbagian adalah bilangan prima, yang relatif prima dengan koefisien variabel-variabel pada ruas kanan relasi, sehingga menyebabkan setiap variabel merupakan bilangan kelipatan faktor pembagi.

\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 05 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>