GEOMETRY QUIZ! Perhatikan gambar! berapakah perbandingan luas merah & hijau?

Berikut ini adalah pertanyaan dari e18ht1nFinity pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

GEOMETRY QUIZ!
Perhatikan gambar!

berapakah perbandingan luas merah & hijau?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Perbandingan luas daerah merah dan hijau adalah 1 : 2.
 

Pembahasan

Pertama-tama, kita lakukan transformasi afin (affine) yang tidak akan mengubah proporsi/perbandingan panjang ruas-ruas garis dan luas daerah yang terdapat pada segitiga tersebut. Titik puncak segitiga ditransformasi sedemikian rupa sehingga segitiga tersebut menjadi segitiga siku-siku, seperti tampak pada gambar yang saya sertakan.

Ruas-ruas garis vertikal yang membagi $\triangle ABC$ saling sejajar, dan terdapat 10 segmen garis yang sama panjang pada alas dan sisi miring, sehingga dengan prinsip kesebangunan, kita dapat pula membagi tingginya menjadi 10 segmen garis yang sama panjang.

Oleh karena itu, anggap panjang alas dan tinggi $\triangle ABC$ sebagai $10x$ dan $10y$ , sehingga ${\bf L}_{\triangle ABC}=50xy$ .

Daerah berwarna merah terbagi atas dua kelompok, yaitu kelompok segitiga kecil dan kelompok segiempat kecil.

Kelompok segitiga kecil

Pada kelompok ini, terdapat 6 segitiga kecil. Kita sebut segitiga-segitiga kecil tersebut sekaligus luasnya sebagai $T_n$ .

Tinggi $T_1 = t_1=|\overline{AC}|/3$ . Tinggi $T_2 = t_2 = |\overline{A_2C_2}|/3$ , dst.
Sedangkan tinggi atau panjang ruas-ruas garis vertikal berkurang panjangnya dalam perbandingan 10 : 9 : 8 : 7 : ... : 1.

Oleh karena itu, untuk setiap $T_n$ :

$\begin{aligned}T_n&=\frac{1}{2}\cdot x\cdot|\overline{A_nC_n}|\\&=\frac{1}{2}\cdot x\cdot\frac{(11-n)}{3}y\\\Rightarrow T_n&=\frac{(11-n)xy}{6}\end{aligned}$

Jumlah luasnya diberikan oleh:

$\begin{aligned}\bf LT&=\sum_{n=1}^{6}T_n=\sum_{n=1}^{6}\frac{(11-n)xy}{6}\\&=\frac{xy}{6}\left[\sum_{n=1}^{6}11-\sum_{n=1}^{6}n\right]\\&=\frac{xy}{6}\left[66-(1+2+3+4+5+6)\right]\\&=\frac{xy}{6}\left[66-21\right]\\\Rightarrow \bf LT&=\frac{45xy}{6}\\\end{aligned}$

Kelompok segiempat kecil

Pada kelompok ini, terdapat 5 segiempat kecil. Untuk setiap bangun, kita sebut $E_n$ , sekaligus juga untuk luasnya. Di sini kita bisa menghitung luas setiap segiempat kecil dengan cara pengurangan luas persegi panjang dengan jumlah luas segitiga siku-siku di atas dan bawah segiempat (tidak sama besarnya).

Untuk setiap $E_n$ , segitiga siku-siku yang berada di bawahnya kongruen dengan $T_{n}$ . Sedangkan untuk segitiga yang berada di atasnya bukan segitiga siku-siku. Untuk memudahkan, kita tambahkan titik di luar $\triangle ABC$ dengan absis sama dengan absis titik $C_{n+2}$ , dan ordinat sama dengan ordinat titik $C_{n+1}$ . Luas setiap segitiga ini diberikan oleh:

$\begin{aligned}L&=\frac{1}{2}\cdot x\cdot\frac{11-(n+1)}{3}y\\&=\frac{(11-(n+1))xy}{6}\\\Rightarrow L&=T_{n+1}\end{aligned}$

Oleh karena itu, untuk setiap $E_n$ :

$\begin{aligned}E_n&=\textsf{luas persegipanjang}-(T_n+T_{n+1})\\&=x\left(\frac{2(11-n)y}{3}-y\right)-(T_n+T_{n+1})\\&=\frac{2(11-n)xy}{3}-xy-(T_n+T_{n+1})\\&=4\cdot\frac{(11-n)xy}{6}-(T_n+T_{n+1})-xy\\&=4T_n-T_n-T_{n+1}-xy\\\Rightarrow E_n&=3T_n-T_{n+1}-xy\\\end{aligned}$

Jumlah luasnya diberikan oleh:

$\begin{aligned}\bf LE&=\sum_{n=1}^{5}E_n=\sum_{n=1}^{5}(3T_n-T_{n+1}-xy)\\&=3\sum_{n=1}^{5}T_n-\sum_{n=1}^{5}T_{n+1}-\sum_{n=1}^{5}xy\\&=3\left(\sum_{n=1}^{6}T_n-T_6\right)-\left(\sum_{n=1}^{6}T_n-T_1\right)-5xy\\&=3\left({\bf LT}-T_6\right)-\left({\bf LT}-T_1\right)-5xy\\&=2{\bf LT}+T_1-T_6-5xy\\&=2\left(\frac{45xy}{6}\right)+\frac{10xy}{6}-\frac{5xy}{6}-\frac{30xy}{6}\\&=\frac{(90-35)xy}{6}\\\Rightarrow \bf LE&=\frac{55xy}{6}\end{aligned}$

Perbandingan luas daerah berwarna merah dan hijau diberikan oleh:

$\begin{aligned}&({\bf LT+LE})\ :\ \left({\bf L}_{\triangle ABC}-({\bf LT+LE})\right)\\&{=\ }\left(\frac{45xy}{6}+\frac{55xy}{6}\right)\ :\ \left(50xy-\left(\frac{45xy}{6}+\frac{55xy}{6}\right)\right)\\&{=\ }\frac{100}{6}\ :\ \left(50-\frac{100}{6}\right)\\&{=\ }\frac{50}{3}\ :\ \left(50-\frac{50}{3}\right)\quad\Bigg\}\times\frac{3}{50}\\&{=\ }1\ :\ (3-1)\\&{=\ }\boxed{\,\bf 1:2\,}\end{aligned}$

$\blacksquare$

$Perbandingan luas daerah merah dan hijau adalah 1 : 2. PembahasanPertama-tama, kita lakukan transformasi afin (affine) yang tidak akan mengubah proporsi/perbandingan panjang ruas-ruas garis dan luas daerah yang terdapat pada segitiga tersebut. Titik puncak segitiga ditransformasi sedemikian rupa sehingga segitiga tersebut menjadi segitiga siku-siku, seperti tampak pada gambar yang saya sertakan.Ruas-ruas garis vertikal yang membagi [tex]\triangle ABC[/tex] saling sejajar, dan terdapat 10 segmen garis yang sama panjang pada alas dan sisi miring, sehingga dengan prinsip kesebangunan, kita dapat pula membagi tingginya menjadi 10 segmen garis yang sama panjang.Oleh karena itu, anggap panjang alas dan tinggi [tex]\triangle ABC[/tex] sebagai [tex]10x[/tex] dan [tex]10y[/tex], sehingga [tex]{\bf L}_{\triangle ABC}=50xy[/tex].Daerah berwarna merah terbagi atas dua kelompok, yaitu kelompok segitiga kecil dan kelompok segiempat kecil.Kelompok segitiga kecilPada kelompok ini, terdapat 6 segitiga kecil. Kita sebut segitiga-segitiga kecil tersebut sekaligus luasnya sebagai [tex]T_n[/tex]. Tinggi [tex]T_1 = t_1=|\overline{AC}|/3[/tex]. Tinggi [tex]T_2 = t_2 = |\overline{A_2C_2}|/3[/tex], dst. Sedangkan tinggi atau panjang ruas-ruas garis vertikal berkurang panjangnya dalam perbandingan 10 : 9 : 8 : 7 : ... : 1.Oleh karena itu, untuk setiap [tex]T_n[/tex]:[tex]\begin{aligned}T_n&=\frac{1}{2}\cdot x\cdot|\overline{A_nC_n}|\\&=\frac{1}{2}\cdot x\cdot\frac{(11-n)}{3}y\\\Rightarrow T_n&=\frac{(11-n)xy}{6}\end{aligned}[/tex]Jumlah luasnya diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}\bf LT&=\sum_{n=1}^{6}T_n=\sum_{n=1}^{6}\frac{(11-n)xy}{6}\\&=\frac{xy}{6}\left[\sum_{n=1}^{6}11-\sum_{n=1}^{6}n\right]\\&=\frac{xy}{6}\left[66-(1+2+3+4+5+6)\right]\\&=\frac{xy}{6}\left[66-21\right]\\\Rightarrow \bf LT&=\frac{45xy}{6}\\\end{aligned}[/tex]Kelompok segiempat kecilPada kelompok ini, terdapat 5 segiempat kecil. Untuk setiap bangun, kita sebut [tex]E_n[/tex], sekaligus juga untuk luasnya. Di sini kita bisa menghitung luas setiap segiempat kecil dengan cara pengurangan luas persegi panjang dengan jumlah luas segitiga siku-siku di atas dan bawah segiempat (tidak sama besarnya). Untuk setiap [tex]E_n[/tex], segitiga siku-siku yang berada di bawahnya kongruen dengan [tex]T_{n}[/tex]. Sedangkan untuk segitiga yang berada di atasnya bukan segitiga siku-siku. Untuk memudahkan, kita tambahkan titik di luar [tex]\triangle ABC[/tex] dengan absis sama dengan absis titik [tex]C_{n+2}[/tex], dan ordinat sama dengan ordinat titik [tex]C_{n+1}[/tex]. Luas setiap segitiga ini diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}L&=\frac{1}{2}\cdot x\cdot\frac{11-(n+1)}{3}y\\&=\frac{(11-(n+1))xy}{6}\\\Rightarrow L&=T_{n+1}\end{aligned}[/tex]Oleh karena itu, untuk setiap [tex]E_n[/tex]:[tex]\begin{aligned}E_n&=\textsf{luas persegipanjang}-(T_n+T_{n+1})\\&=x\left(\frac{2(11-n)y}{3}-y\right)-(T_n+T_{n+1})\\&=\frac{2(11-n)xy}{3}-xy-(T_n+T_{n+1})\\&=4\cdot\frac{(11-n)xy}{6}-(T_n+T_{n+1})-xy\\&=4T_n-T_n-T_{n+1}-xy\\\Rightarrow E_n&=3T_n-T_{n+1}-xy\\\end{aligned}[/tex]Jumlah luasnya diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}\bf LE&=\sum_{n=1}^{5}E_n=\sum_{n=1}^{5}(3T_n-T_{n+1}-xy)\\&=3\sum_{n=1}^{5}T_n-\sum_{n=1}^{5}T_{n+1}-\sum_{n=1}^{5}xy\\&=3\left(\sum_{n=1}^{6}T_n-T_6\right)-\left(\sum_{n=1}^{6}T_n-T_1\right)-5xy\\&=3\left({\bf LT}-T_6\right)-\left({\bf LT}-T_1\right)-5xy\\&=2{\bf LT}+T_1-T_6-5xy\\&=2\left(\frac{45xy}{6}\right)+\frac{10xy}{6}-\frac{5xy}{6}-\frac{30xy}{6}\\&=\frac{(90-35)xy}{6}\\\Rightarrow \bf LE&=\frac{55xy}{6}\end{aligned}[/tex]Perbandingan luas daerah berwarna merah dan hijau diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}&({\bf LT+LE})\ :\ \left({\bf L}_{\triangle ABC}-({\bf LT+LE})\right)\\&{=\ }\left(\frac{45xy}{6}+\frac{55xy}{6}\right)\ :\ \left(50xy-\left(\frac{45xy}{6}+\frac{55xy}{6}\right)\right)\\&{=\ }\frac{100}{6}\ :\ \left(50-\frac{100}{6}\right)\\&{=\ }\frac{50}{3}\ :\ \left(50-\frac{50}{3}\right)\quad\Bigg\}\times\frac{3}{50}\\&{=\ }1\ :\ (3-1)\\&{=\ }\boxed{\,\bf 1:2\,}\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 14 Oct 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

GEOMETRY QUIZ! Perhatikan gambar! berapakah perbandingan luas merah & hijau?

Jawaban dan Penjelasan

Pembahasan

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika