Jawaban: Terdapat 20 bilangan yang memenuhi.
 

Pembahasan

Bilangan 2-digit terbesar yang jika dikalikan dengan 7 menghasilkan bilangan 2-digit adalah 14. Oleh karena itu, kita bisa menganggap hasil perkalian dengan 7 sebagai bilangan 3-digit.

Kita selidiki dari digit satuan pada \overline{ab}, yaitu b.

...............................

Untuk b = 0, 7b = 0. Jumlah digit satuan dan digit puluhan dari 7a sama dengan a. Hal ini hanya terpenuhi oleh bilangan-bilangan kelipatan 3, yaitu 3, 6, dan 9.

Bilangan yang memenuhi adalah:

• 30 ⇒ 30×7 = 210, dan 3+0 = 2+1+0 = 3
• 60,⇒ 60×7 = 420, dan 6+0 = 4+2+0 = 6
• 90 ⇒ 90×7 = 630, dan 9+0 = 6+3+0 = 9

⇒ 3 bilangan 2-digit yang memenuhi

...............................

Untuk b = 1, 7b = 7 . Nilai a yang mungkin adalah 7, 8, dan 9. Untuk ketiga nilai a tersebut, jumlah digit-digit 7a tidak ada yang sama dengan a.

⇒ 0 bilangan 2-digit yang memenuhi

...............................

Untuk b = 2, 7b = 14. Digit puluhan dari 7b adalah 1. Karena yang kita cari adalah bilangan 3-digit , terdapat “carry” / sisa penjumlahan pada digit puluhan yang ikut dijumlahkan pada digit ratusan. Oleh karena itu, 2 digit awal yaitu yang mungkin adalah 50, 57, dan 64.

Karena b = 2, maka nilai maksimum a+b adalah 11. Jadi, yang memenuhi adalah 50, dengan .

Bilangan yang memenuhi adalah:

• 72 ⇒ 72×7 = 504 dan 7+2 = 5+0+4 = 9

⇒ 1 bilangan 2-digit yang memenuhi.

...............................

Untuk b = 3, 7b = 21 akan terpenuhi oleh bilangan a yang merupakan kelipatan 3, yaitu 3, 6, dan 9.

Bilangan yang memenuhi adalah:

• 33 ⇒ 33×7 = 231, dan 3+3 = 2+3+1 = 6
• 63,⇒ 63×7 = 441, dan 6+3 = 4+4+1 = 9
• 93 ⇒ 93×7 = 651, dan 9+3 = 6+5+1 = 12

⇒ 3 bilangan 2-digit yang memenuhi

...............................

Untuk b = 4, 7b = 28 . Nilai a yang mungkin adalah 7, 8, dan 9. Untuk ketiga nilai a tersebut, jumlah digit-digit 7a tidak ada yang sama dengan a.

⇒ 0 bilangan 2-digit yang memenuhi

...............................

Untuk b = 5, 7b = 35. Digit puluhan dari 7b adalah 3. Oleh karena itu, 2 digit awal yaitu yang mungkin adalah 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, dan 66, dengan a = 1 hingga a = 9 berturut-turut.

Untuk kasus ini, karena hasil kali 5 dan 7 selalu bersatuan 5, maka yang memenuhi adalah yang jumlah digit-digitnya sama dengan a, yaitu 10, 31, dan 52, dengan nilai a berturut-turut adalah 1, 4, dan 7.

Bilangan yang memenuhi adalah:

• 15 ⇒ 15×7 = 105, dan 1+5 = 1+0+5 = 6
• 45,⇒ 45×7 = 315, dan 4+5 = 3+1+5 = 9
• 75 ⇒ 75×7 = 525, dan 7+5 = 5+2+5 = 12

⇒ 3 bilangan 2-digit yang memenuhi

...............................

Untuk b = 6, 7b = 42 akan terpenuhi oleh bilangan a yang merupakan kelipatan 3, yaitu 3, 6, dan 9.

Bilangan yang memenuhi adalah:

• 36 ⇒ 36×7 = 252, dan 3+6 = 2+5+2 = 9
• 66,⇒ 66×7 = 462, dan 6+6 = 4+6+2 = 12
• 96 ⇒ 96×7 = 672, dan 9+6 = 6+7+2 = 15

⇒ 3 bilangan 2-digit yang memenuhi

...............................

Untuk b = 7, 7b = 49. Digit puluhan dari 7b adalah 4. Oleh karena itu, 2 digit awal yaitu yang mungkin adalah 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, dan 67, dengan a = 1 hingga a = 9 berturut-turut.

Untuk kasus ini, yang memenuhi adalah yang jumlah digit-digitnya sama dengan a - 2, yaitu 60, dengan nilai a adalah 8.

Bilangan yang memenuhi adalah:

• 87 ⇒ 87×7 = 609, dan 8+7 = 6+0+9 = 15

⇒ 1 bilangan 2-digit yang memenuhi

...............................

Untuk b = 8, 7b=56. Digit puluhan dari 7b adalah 5. Oleh karena itu, 2 digit awal yaitu yang mungkin adalah 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, dan 68, dengan a = 1 hingga a = 9 berturut-turut.

Untuk kasus ini, yang memenuhi adalah yang jumlah digit-digitnya sama dengan a+2, yaitu 12, 33, dan 54, dengan nilai a berturut-turut adalah 1, 4, dan 7.

Bilangan yang memenuhi adalah:

• 18 ⇒ 18×7 = 126, dan 1+8 = 1+2+6 = 9
• 48 ⇒ 48×7 = 336, dan 4+8 = 3+3+6 = 12
• 78 ⇒ 78×7 = 546, dan 7+8 = 5+4+6 = 15

⇒ 3 bilangan 2-digit yang memenuhi

...............................

Untuk b = 9, 7b = 63 akan terpenuhi oleh bilangan a yang merupakan kelipatan 3, yaitu 3, 6, dan 9.

Bilangan yang memenuhi adalah:

• 39 ⇒ 39×7 = 273, dan 3+9 = 2+7+3 = 12
• 69,⇒ 69×7 = 483, dan 6+9 = 4+8+3 = 15
• 99 ⇒ 99×7 = 693, dan 9+9 = 6+9+3 = 18

⇒ 3 bilangan 2-digit yang memenuhi

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, banyak bilangan 2-digit yang memenuhi adalah:
6×3 + 2×1 = 18 + 2 = 20 bilangan.